Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie

Równaie różniczkowe Eulera


  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
2 odpowiedzi w tym temacie

#1 lost

lost

    Lukemeister

  • VIP
  • 1619 postów
655
Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 24.03.2010 - 07:57

W książce znalazłem przykład rozwiązania następującego równania:

x^2y''-xy'-5y=x^2lnx

Równanie charakterystyczne ma postać:

x^2y''-3xy'-5y=0

Tworzymy równanie charakterystyczne:

r(r-1)-3r-5=0, czyli r^2-4r-5=0,

stąd r_1=-1, a r_2=5. W związku z tym rozwiązanie ogólne ma postać:

y_1=Ax^2+Bx^{-1}

Aby znaleźć rozwiązanie szczególne uzmienniamy stałe. Mamy więc:

y_1=A(x)x^5+B(X)x^{-1},

przy czym funkcje A(x) i B(x) muszą spełniać następujące warunki:

A'x^5+\frac{B'}{x}=0

5A'x^4-\frac{B'}{x^2}=lnx

I tutaj moje pytanie...
Skąd się bierze 5A'x^4-\frac{B'}{x^2}=lnx?
Proszę o dokładne wyjaśnienie <_<
  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 sakhmet

sakhmet

    Wielki Analityk

  • $Jr Admin
  • 3937 postów
2106
Starszy Wykładowca III
  • Płeć:Kobieta

Napisano 24.03.2010 - 11:59

Jeżeli y=c_1y_1+c_2y_2 jest rozwiązaniem równania liniowego jednorodnego y''+p(x)y+q(x)=0, to funkcja y(x)=c_1(x)y_1(x)+c_2(x)y_2(x) jest rozwiązaniem równania y''+p(x)y+q(x)=g(x), gdzie c_2(x) spełniają warunek
y=Ax^5+Bx^{-1} zatem rozwiązaniem r-nia niejednorodnego jest y=A(x)x^5+B(x)x^{-1}, gdzie A(x) i B(x) spełniają układ
\left[\begin{array}{cc} x^5 & x^{-1} \\ 5x^4 & -x^{-2} \end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c} A'(x) \\ B'(x) \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} 0 \\ \ln x \end{array}\right]\Rightarrow \begin{cases}A'(x)x^5+\frac{B'(x)}{x}=0\\5A'(x)x^4-\frac{B'(x)}{x^2}=\ln x\end{cases}
  • 0

#3 lost

lost

    Lukemeister

  • VIP
  • 1619 postów
655
Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 24.03.2010 - 17:15

Dzięki... o to właśnie mi chodziło :) (teorię), ponieważ w książce, z której się uczę pojawia się zapis ni z gruchy ni z pietruchy. <_< A teraz wszystko jasne:-)
  • 0





Tematy podobne do: Równaie różniczkowe Eulera     x