Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie

Równanie różniczkowe Bernulliego


  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
4 odpowiedzi w tym temacie

#1 lost

lost

    Lukemeister

  • $Jr Admin
  • 1619 postów
655
Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 14.03.2010 - 16:33

(x-2xy-y^2)\frac{dy}{dx}+y^2=0
  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 Kinia7

Kinia7

    Wielki Analityk

  • ^Przyjaciele
  • 2945 postów
403
Instruktor II
  • Płeć:Kobieta

Napisano 30.06.2016 - 21:32

to nie jest równanie Bernoulli'ego 
y^2dx+(x-2xy-y^2)dy=0
\{P=y^2\\Q=x-2xy-y^2  \quad\to\quad \{P'_y=2y\\Q'_x=1-2y \quad\to\quad P'_y\neq Q'_x \quad\to\quad  równanie nie jest zupełnym
spróbuję znaleźć czynnik całkujący zależny tylko od y
\fr{P'_y-Q'_x}{-P}=\fr{4y-1}{-y^2}=\psi(y)=-\fr4y+\fr1{y^2} \quad\to\quad \int\psi dy=\ln y^{-4}-\fr1y
\mu(y)=e^{\int\psi dy}=y^{-4}e^{-\fr1y}
przez ten czynnik mnożymy równanie wyjściowe
y^{-2}e^{-\fr1y}dx+y^{-4}e^{-\fr1y}(x-2xy-y^2)dy=0
mamy nowe P i Q
\{P=y^{-2}e^{-\fr1y}\\Q=y^{-4}e^{-\fr1y}(x-2xy-y^2)  \quad\to\quad \{P'_y=y^{-3}e^{-\fr1y}(-2+y^{-1})\\Q'_x=y^{-4}e^{-\fr1y}(1-2y)  \quad\to\quad P'_y=Q'_x
F=\int Pdx=\int y^{-2}e^{-\fr1y}dx=xy^{-2}e^{-\fr1y}+\phi(y)
F'_y=-2xy^{-3}e^{-\fr1y}+xy^{-4}e^{-\fr1y}+\phi'=y^{-4}e^{-\fr1y}(-2xy+x)+\phi'
F'_y=Q \quad\to\quad \phi'=-y^{-2}e^{-\fr1y}=-e^{-\fr1y}\fr{1}{y^2} \quad\to\quad \phi=-e^{-\fr1y}-C
F=xy^{-2}e^{-\fr1y}-e^{-\fr1y}-C=0\ /\cd y^2e^{\fr1y} \quad\to\quad x=y^2+Cy^2e^{\fr1y}

  • 1

#3 Mariusz M

Mariusz M

    Wielki Analityk

  • Użytkownik
  • Redaktor
  • 859 postów
392
Instruktor II
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 01.07.2016 - 18:14

Kiniu  próbowałaś przyjąć y za zmienną niezależną ?

 

Wtedy zdaje się że będzie liniowe

 

\left(x-2xy-y^2\right)\frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}x}+y^2=0\\</p>\\<p>\left(x-2xy-y^2\right)+y^2\frac{\mbox{d}x}{\mbox{d}y}=0\\</p>\\<p>y^{2}x'+x-2xy-y^2=0\\</p>\\<p>y^{2}x'+\left(1-2y\right)x-y^2=0\\</p>\\<p>y^{2}x'+\left(1-2y\right)x=y^2\\</p>\\<p>y^{2}x'+\left(1-2y\right)x=0\\</p>\\<p>y^{2}x'=\left(2y-1\right)x</p>\\<p>\frac{x'}{x}=\frac{2y-1}{y^2}\\</p>\\<p>\frac{\mbox{d}x}{x}=\frac{2y-1}{y^2}\mbox{d}y\\</p>\\<p>\ln{\left|x\right|}=2\ln{\left|y\right|}+\frac{1}{y}+C\\</p>\\<p>x=Cy^2e^{\frac{1}{y}}\\</p>\\<p>x\left(y\right)=C\left(y\right)y^2e^{\frac{1}{y}}\\</p>\\<p>y^2\left(C'\left(y\right)y^2e^{\frac{1}{y}}+C\left(y\right)\left(2y-1\right)e^{\frac{1}{y}}\right)+\left(1-2y\right)C\left(y\right)y^2e^{\frac{1}{y}}=y^2\\</p>\\<p>C'\left(y\right)y^4e^{\frac{1}{y}}=y^2</p>\\<p>C'\left(y\right)=\frac{1}{y^2}e^{-\frac{1}{y}}\\</p>\\<p>t=-\frac{1}{y}\\</p>\\<p>\mbox{d}t=\frac{1}{y^2}\mbox{d}y\\</p>\\<p>\int{e^{t}\mbox{d}t}=e^{t}+C\\</p>\\<p>x\left(y\right)=\left(e^{-\frac{1}{y}}+C\right)y^2e^{\frac{1}{y}}\\</p>\\<p>x\left(y\right)=y^2+Cy^2e^{\frac{1}{y}}\\</p>\\<p>


Użytkownik Mariusz M edytował ten post 01.07.2016 - 18:31

  • 1

#4 maja123

maja123

    Nowicjusz

  • Jr Użytkownik
  • 2 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Kobieta

Napisano 07.07.2016 - 10:26

czy moglby ktos dokladniej wytlumaczyc ten przyklad? :(


  • 0

#5 Kinia7

Kinia7

    Wielki Analityk

  • ^Przyjaciele
  • 2945 postów
403
Instruktor II
  • Płeć:Kobieta

Napisano 07.07.2016 - 10:55

y^2dx+(x-2xy-y^2)dy=0

jest to równanie postaci
F(x,y)=P(x,y)\cdot dx+Q(x,y)\cdot dy
stąd
\{P=y^2\\Q=x-2xy-y^2
a dalsze kroki są sposobem rozwiązywania tego typu równania
 

  • 1





Tematy podobne do: Równanie różniczkowe Bernulliego     x