Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie

Równanie różniczkowe


  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
1 odpowiedź w tym temacie

#1 lost

lost

    Lukemeister

  • $Jr Admin
  • 1619 postów
655
Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 07.03.2010 - 20:16

9y\frac{dy}{dx}-18xy+4x^3=0

Podpowiedź:
y=t^2...
  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 Kinia7

Kinia7

    Wielki Analityk

  • ^Przyjaciele
  • 2945 postów
403
Instruktor II
  • Płeć:Kobieta

Napisano 03.02.2016 - 11:09

9y\frac{dy}{dx}-18xy+4x^3=0
y=t^2 \quad\to\quad dy=2tdt
18t^3\fr{dt}{dx}-18xt^2+4x^3=0\ /:2t^3
9\fr{dt}{dx}-9\fr xt+2\fr{x^3}{t^3}=0
u=\fr xt \quad\to\quad t=\fr xu \quad\to\quad t'=\fr{u-xu'}{u^2}
9\cd\fr{u-xu'}{u^2}-9u+2u^3=0\ /\cd u^2
9u-9xu'-9u^3+2u^5=0
9xu'=u(2u^4-9u^2+9)
9x\cd\fr{du}{dx}=u(2u^4-9u^2+9)
\fr{dx}{9x}=\fr{du}{u(2u^4-9u^2+9)
rozkład na ułamki proste
\fr{1}{u(2u^4-9u^2+9)}=\fr{A}{2u}+\fr{B}{u-\sq{\fr32}}+\fr{C}{u+\sq{\fr32}}+\fr{D}{u-\sq3}+\fr{E}{u+\sq3}=\fr{\fr19}{u}-\fr{\fr19}{u-\sq{\fr32}}-\fr{\fr19}{u+\sq{\fr32}}+\fr{\fr1{18}}{u-\sq3}+\fr{\fr1{18}}{u+\sq3}
\fr{dx}{x}=\(\fr{1}{u}-\fr{1}{u-\sq{\fr32}}-\fr{1}{u+\sq{\fr32}}+\fr{\fr1{2}}{u-\sq3}+\fr{\fr1{2}}{u+\sq3}\)du\ /\int
\ln x=\ln u-\ln\(u-\sq{\fr32}\)-\ln\(u+\sq{\fr32}\)+\ln\sq{u-\sq3}+\ln\sq{u+\sq3}+\ln C
x=\fr{Cu\sq{u-\sq3}\sq{u+\sq3}}{\(u-\sq{\fr32}\)\(u+\sq{\fr32}\)}=\fr{Cu\sq{u^2-3}}{u^2-\fr32}=\[\ \\u=\fr xt\\\ \]=\fr{C\fr xt\sq{\fr{x^2}{t^2}-3}}{\fr{x^2}{t^2}-\fr32}=\[\ \\t^2=y\\\ \]=\fr{C\fr {x}{\sq{y}}\sq{\fr{x^2}{y}-3}}{\fr{x^2}{y}-\fr32} \quad\to\quad
x=\fr{Cx\sq{x^2-3y}}{2x^2-3y}\ /\cd\fr{2x^2-3y}{x}
2x^2-3y=C\sq{x^2-3y}\ /^2
4x^4-12x^2y+9y^2=C^2x^2-3C^2y
9y^2+(3C^2-12x^2)y+4x^4-C^2x^2=0
\Delta=(3C^2-12x^2)^2-36(4x^4-C^2x^2)=9C^2(C^2-4x^2)
y=\fr{12x^2-3C^2\pm3C\sq{C^2-4x^2}}{18}
y=\fr{4x^2-C^2\pm C\sq{C^2-4x^2}}{6}
wolfram podaje wynik w postaci
y=\fr29(\pm\sq{e^{\fr{4c_1}{9}}-3e^{\fr{2c_1}{9}}x^2}-e^{\fr{2c_1}{9}}+3x^2)
czy moje rozwiązanie jest złe? gdzie się pomyliłam?
 

  • 1

#3 bb314

bb314

    miła suczka

  • $Jr Admin
  • Redaktor
  • 3981 postów
4728
Profesor
  • Płeć:Kobieta

Napisano 05.02.2016 - 18:49

Nigdzie!

 

\bl y=\fr29(\pm\sq{e^{\fr{4c_1}{9}}-3e^{\fr{2c_1}{9}}x^2}-e^{\fr{2c_1}{9}}+3x^2)=
 
różnica między Wolframem a Tobą polega na innym sposobie zadania stałej
 
w miejsce  e^{\frac{2c_1}{9}  podstawię  \fr34C^2
 
=\fr29(\pm\sq{\(\fr34C^2\)^2-3\cd\fr34C^2x^2}-\fr34C^2+3x^2)=\fr29(\pm\sq{\fr{9}{16}C^4-\fr9{16}\cd4C^2x^2}-\fr34C^2+3x^2)=
 
=\fr29(\pm\sq{\fr{9}{16}C^2\(C^2-4x^2\)}-\fr34C^2+3x^2)=\fr29(\pm\fr34C\sq{C^2-4x^2}-\fr34C^2+3x^2)=
 
=\fr29\cd\fr34(\pm C\sq{C^2-4x^2}-C^2+4x^2)=\bl\fr16(\pm C\sq{C^2-4x^2}-C^2+4x^2)
 
co więcej, zauważyłam że Twoja podstać daje rozwiązanie szczególne  \re y=\fr23x^2,  czego nie daje postać Wolframa
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ :shifty: \ :shifty:
 
 

  • 1

\ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Jeśli chcesz powiedzieć \ \ DZIĘKUJĘ \ \ lub \ \ ŁAŁ \ \  to zaloguj się i kliknij znak\ rep_up.png\ nad kreską.\bl\ \ \ \nearrow
..
..
..
..
..
..


#4 bb314

bb314

    miła suczka

  • $Jr Admin
  • Redaktor
  • 3981 postów
4728
Profesor
  • Płeć:Kobieta

Napisano 06.02.2016 - 00:00

Nigdzie!

 

\bl y=\fr29(\pm\sq{e^{\fr{4c_1}{9}}-3e^{\fr{2c_1}{9}}x^2}-e^{\fr{2c_1}{9}}+3x^2)=
 
różnica między Wolframem a Tobą polega na innym sposobie zadania stałej
 
w miejsce  e^{\frac{2c_1}{9}  podstawię  \fr34C^2
 
=\fr29(\pm\sq{\(\fr34C^2\)^2-3\cd\fr34C^2x^2}-\fr34C^2+3x^2)=\fr29(\pm\sq{\fr{9}{16}C^4-\fr9{16}\cd4C^2x^2}-\fr34C^2+3x^2)=
 
=\fr29(\pm\sq{\fr{9}{16}C^2\(C^2-4x^2\)}-\fr34C^2+3x^2)=\fr29(\pm\fr34C\sq{C^2-4x^2}-\fr34C^2+3x^2)=
 
=\fr29\cd\fr34(\pm C\sq{C^2-4x^2}-C^2+4x^2)=\bl\fr16(\pm C\sq{C^2-4x^2}-C^2+4x^2)
 
co więcej, zauważyłam że Twoja podstać daje rozwiązanie szczególne  \re y=\fr23x^2,  czego nie daje postać Wolframa
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \   :shifty: \   :shifty:
 

 


  • 1

\ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Jeśli chcesz powiedzieć \ \ DZIĘKUJĘ \ \ lub \ \ ŁAŁ \ \  to zaloguj się i kliknij znak\ rep_up.png\ nad kreską.\bl\ \ \ \nearrow
..
..
..
..
..
..


#5 Mariusz M

Mariusz M

    Wielki Analityk

  • Użytkownik
  • Redaktor
  • 859 postów
392
Instruktor II
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 08.02.2016 - 20:32

Można rozdzielić zmienne jednym podstawieniem i nawet nie jest trudno je znaleźć

9y\frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}x}-18xy+4x^3=0\\</p>\\<p>\frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}x}-2x+\frac{4}{9}\cdot\frac{x^3}{y}=0\\</p>\\<p>\frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}x}=2x-\frac{4}{9}\cdot\frac{x^3}{y}\\</p>\\<p>\frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}x}=\frac{y}{x}\left(2\frac{x^2}{y}-\frac{4}{9}\cdot\frac{x^4}{y^2}\right)\\</p>\\<p>u=\frac{x^2}{y}\\</p>\\<p>


Użytkownik Mariusz M edytował ten post 08.02.2016 - 20:34

  • 1





Tematy podobne do: Równanie różniczkowe     x