Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie

Równanie trygonometryczne


  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
2 odpowiedzi w tym temacie

#1 animashi1807

animashi1807

    Nowicjusz

  • Użytkownik
  • 3 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 16.02.2010 - 21:25

Rozwiąż równanie

\frac{4}{\cos^{2}3x+4}=2-\frac{5}{\cos^{2}3x+5}

gdzie x\in\langle0,\pi\rangle

Mam takie coś:

t = \cos^2 3x \wedge t \in \left< 0, 1 \right> \\<br />\\\frac{4}{t + 4} = 2 - \frac{5}{t+5} \wedge t \in \left< 0, 1 \right> \\<br />\\t \in \left\{ - \frac{9}{2}; 0 \right\} \wedge t \in \left< 0, 1 \right> \\<br />\\t = 0 \\ \cos^2 3x = 0 \wedge x\in\langle0,\pi\rangle

Jak teraz wyznaczyc x?
  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 thomas1991

thomas1991

    Wielki Analityk

  • VIP
  • 1402 postów
739
Wykładowca II
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 16.02.2010 - 22:27

 cos^23x = 0  \gr \Leftrightarrow  cos3x = 0 \bl t:=3x

 cost = 0  \gr \Leftrightarrow  t = \frac{\pi}{2} + k\pi \ i \ k\in C , wracamy z podstawieniem:

 3x = \frac{\pi}{2} + k\pi  \gr \Leftrightarrow  x = \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{3}

 k = 0  x = \frac{\pi}{6}

 k = 1  x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2}

 k = 2  x = \frac{\pi}{6} + \frac{4\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} , tak więc w przedziale  x\in\<0;\pi\> rozwiązaniami są:
 \re \fbox{ x\in\{ \frac{\pi}{6} ; \frac{\pi}{2} ; \frac{5\pi}{6}\}
  • 0

#3 tadpod

tadpod

    Wielki Analityk

  • $Jr Admin
  • 7153 postów
3155
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 16.02.2010 - 22:57

Rozwiąż równanie \frac{4}{\cos^{2}3x+4}=2-\frac{5}{\cos^{2}3x+5}\ , gdzie \ x\in\langle0,\pi\rangle

... otóż, lubie od początku, a więc
\re \frac{4}{cos^23x+4}=2-\frac{5}{cos^23x+5}  \ /\cdot (cos^23x+4)(cos^23x+5)>0 \ \bl \Leftrightarrow\  4(cos^23x+5)=2(cos^23x+4)(cos^23x+5)-5(cos^23x+4)\ \bl \Leftrightarrow\

 \bl \Leftrightarrow\  4cos^23x+20=2[(cos^23x)^2+9cos^23x+20]-5cos^23x-20\ \bl \Leftrightarrow\  2(cos^23x)^2+9cos^23x=0\ \bl \Leftrightarrow\ cos^23x\cdot (2cos^23x+9)=0\ \bl \Leftrightarrow\

 \bl \Leftrightarrow\  cos^23x=0\ i\ x\in \<0;\pi\> , bo \forall_{x\in \<0;\pi\>}\ 2cos^23x+9>0 \ \bl \Leftrightarrow\ \re cos3x=0\ i\ x\in \<0;\pi\>\ \bl \Leftrightarrow\ 3x=\frac{\pi}{2}+k\pi\ /:3\ i\ x\in \<0;\pi\>\ i\ k\in C\ \bl \Leftrightarrow\
 \bl \Leftrightarrow\ x=\frac{\pi}{6}+k\frac{\pi }{3}\  i\ 0\le k\frac{\pi}{3}<\pi\ \bl \Leftrightarrow\ x=\frac{\pi}{6}+k\frac{\pi }{3}\ i\  0\le k\le 2\ i\ k\in N \ \bl \Leftrightarrow\ \fbox{\re x\in \{\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{2},\frac{5\pi}{6}\}} - szukany zbiór rozwiązań . ... ;) ^{^{*R}}
  • 0





Tematy podobne do: Równanie trygonometryczne     x