Zadanie 1
Niech będzie dodatnią liczbą całkowitą i niech ma co najmniej dzielników.
Zadanie 2
Udowodnij, że układ
nie ma rozwiązań w liczbach całkowitych .
Zadanie 3
Określ, czy istnieje dodatnia liczba całkowita taka, że jest podzielna przez dokładnie 2000 różnych liczb pierwszych, a jest podzielne przez .
Zadania z teorii liczb - poziom trudny cz.2
Rozpoczęty przez Arczi, Feb 16 2010 19:25
2 odpowiedzi w tym temacie
#1
Napisano 16.02.2010 - 19:25
Napisano 25.09.2011 - 17:55
#2
Napisano 07.07.2010 - 18:47
Wskazówka do zadania 1:
Ciężko mi tu podać konkretną wskazówkę. Są możliwe trzy dowody tego zadania; 1. indukcja ze względu na n, 2. oparty na pracy Hyun Soo Kim, 3. oparty na pracy Erica Price. Te dowody albo napiszę, albo prześle drogą mailową.
Wskazówka do zadania 2:
Dodajemy oba równania, a następnie do obu stron dodajemy 1. W ten sposób otrzymujemy:
.
Należy udowodnić, że obie strony równania nie mogą przystawać modulo 19 (dlaczego 19 ?)
Wskazówka do zadania 3:
Należy skorzystać z faktu:
Dla dowolnej liczby całkowitej istnieje liczba pierwsza taka, że dzieli , ale nie dzieli ona .
Ciężko mi tu podać konkretną wskazówkę. Są możliwe trzy dowody tego zadania; 1. indukcja ze względu na n, 2. oparty na pracy Hyun Soo Kim, 3. oparty na pracy Erica Price. Te dowody albo napiszę, albo prześle drogą mailową.
Wskazówka do zadania 2:
Dodajemy oba równania, a następnie do obu stron dodajemy 1. W ten sposób otrzymujemy:
.
Należy udowodnić, że obie strony równania nie mogą przystawać modulo 19 (dlaczego 19 ?)
Wskazówka do zadania 3:
Należy skorzystać z faktu:
Dla dowolnej liczby całkowitej istnieje liczba pierwsza taka, że dzieli , ale nie dzieli ona .
#3
Napisano 08.07.2010 - 17:38
Ad. 2
Od razu kontynuując myśl ze wskazówki (gdzie jest mała literówka, zamiast powinno być ):
Mamy ani ani nie jest resztą kwadratową modulo co świadczy o braku rozwiązań wyjściowego układu.
Ciekawe mi się wydaje, że po prawej stronie może być dowolna liczba przystająca do albo do oraz obojętnie co może być pod kwadratem
Od razu kontynuując myśl ze wskazówki (gdzie jest mała literówka, zamiast powinno być ):
Mamy ani ani nie jest resztą kwadratową modulo co świadczy o braku rozwiązań wyjściowego układu.
Ciekawe mi się wydaje, że po prawej stronie może być dowolna liczba przystająca do albo do oraz obojętnie co może być pod kwadratem