Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie

Zadania z teorii liczb - poziom trudny cz.2


  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
2 odpowiedzi w tym temacie

#1 Arczi

Arczi

    Operator całkujący

  • Redaktor
  • 340 postów
104
Pomocnik I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 16.02.2010 - 19:25

Zadanie 1
Niech n będzie dodatnią liczbą całkowitą i niech 2^{p_1p_2...p_n}+1 ma co najmniej 4^n dzielników.


Zadanie 2
Udowodnij, że układ

x^6+x^3+x^3y+y=147^{157}
x^3+x^3y+y^2+y+z^9=157^{147}

nie ma rozwiązań w liczbach całkowitych x,y,z.


Zadanie 3
Określ, czy istnieje dodatnia liczba całkowita n taka, że n jest podzielna przez dokładnie 2000 różnych liczb pierwszych, a 2^n+1 jest podzielne przez n.
  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 Arczi

Arczi

    Operator całkujący

  • Redaktor
  • 340 postów
104
Pomocnik I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 07.07.2010 - 18:47

Wskazówka do zadania 1:

Ciężko mi tu podać konkretną wskazówkę. Są możliwe trzy dowody tego zadania; 1. indukcja ze względu na n, 2. oparty na pracy Hyun Soo Kim, 3. oparty na pracy Erica Price. Te dowody albo napiszę, albo prześle drogą mailową.


Wskazówka do zadania 2:

Dodajemy oba równania, a następnie do obu stron dodajemy 1. W ten sposób otrzymujemy:

\(x^3+y+1\)^2+x^9=147^{157}+157^{147}+1.

Należy udowodnić, że obie strony równania nie mogą przystawać modulo 19 (dlaczego 19 ;) ?)


Wskazówka do zadania 3:

Należy skorzystać z faktu:

Dla dowolnej liczby całkowitej a>2 istnieje liczba pierwsza p taka, że p dzieli \(a^3+1\), ale nie dzieli ona \(a+1\).
  • 0

#3 Ereinion

Ereinion

    Mega Rozkminiacz z Marsa

  • $Jr Admin
  • 2104 postów
1007
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 08.07.2010 - 17:38

Ad. 2

Od razu kontynuując myśl ze wskazówki (gdzie jest mała literówka, zamiast x^9 powinno być z^9):

Mamy 13 ani 14 ani 15 nie jest resztą kwadratową modulo 19, co świadczy o braku rozwiązań wyjściowego układu.

Ciekawe mi się wydaje, że po prawej stronie może być dowolna liczba przystająca do 13 albo do 14 oraz obojętnie co może być pod kwadratem ;)
  • 0