Zadanie 1
Niech będzie liczbą pierwszą większą niż 5. Udowodnij, że nie może być czwartą potęgą liczby całkowitej.
Zadanie 2
Udowodnij, że dla dowolnej liczby całkowitej większej od 1, liczba jest złożona.
Zadanie 3
Znajdź wszystkie liczby całkowite i takie, że dzieli iloczyn .
Zadania z teorii liczb - poziom łatwy cz.2
Rozpoczęty przez Arczi, Feb 16 2010 19:13
4 odpowiedzi w tym temacie
#1
Napisano 16.02.2010 - 19:13
Napisano 25.09.2011 - 17:55
#3
Napisano 07.07.2010 - 18:28
Wskazówka do zadania 3.
Należy skorzystać z Małego Twierdzenia Fermata oraz z następującego faktu:
Niech będzie dodatnią liczbą całkowitą oraz niech i będą liczbami całkowitymi względnie pierwszymi z . Jeśli oraz są to takie liczby całkowite, że
:
Rozwiązaniem są pary: , oraz .
Należy skorzystać z Małego Twierdzenia Fermata oraz z następującego faktu:
Niech będzie dodatnią liczbą całkowitą oraz niech i będą liczbami całkowitymi względnie pierwszymi z . Jeśli oraz są to takie liczby całkowite, że
:
Rozwiązaniem są pary: , oraz .
#4
Napisano 09.07.2010 - 18:38
W treści zadania nie ma nic o pierwszości liczb i , więc teoretycznie powinno być rozwiązaniem, ale ze wskazówki wiemy, że nie jest. Wobec tego przyjmuję, że w treści zadania jest błąd i liczby to oczywiście musi być też .
Jeśli .
Ale z MTF wiemy też, że .
Na mocy faktu ze wskazówki możemy zapisać, że .
Teraz jeśli to .
Jeśli zaś to podobnie jak poprzednio dochodzimy do wniosku, że .
Ale więc czyli . Sprzeczność z założeniem .
Podsumowując w tym przypadku mamy dwa rozwiązania: i , że .
Wobec tego skoro to również .
Podobnie dochodzimy do wniosku, że .
W takim razie mnożąc stronami dwie ostatnie kongruencje dostajemy tezę.
Później miałem co prawda taką refleksję, że ten dowód nie jest poprawny, bo kongruencje można podnosić stronami do potęg o wykładniku naturalnym, a przecież jedna z liczb będzie ujemna, ale już sobie z tym poradziłem, dowód można łatwo naprawić
Jeśli wszystko jest ok, to proszę o kolejny zestaw "łatwych"
Jeśli .
Ale z MTF wiemy też, że .
Na mocy faktu ze wskazówki możemy zapisać, że .
Teraz jeśli to .
Jeśli zaś to podobnie jak poprzednio dochodzimy do wniosku, że .
Ale więc czyli . Sprzeczność z założeniem .
Podsumowując w tym przypadku mamy dwa rozwiązania: i , że .
Wobec tego skoro to również .
Podobnie dochodzimy do wniosku, że .
W takim razie mnożąc stronami dwie ostatnie kongruencje dostajemy tezę.
Później miałem co prawda taką refleksję, że ten dowód nie jest poprawny, bo kongruencje można podnosić stronami do potęg o wykładniku naturalnym, a przecież jedna z liczb będzie ujemna, ale już sobie z tym poradziłem, dowód można łatwo naprawić
Jeśli wszystko jest ok, to proszę o kolejny zestaw "łatwych"
#5
Napisano 09.07.2010 - 20:06
Słuszna uwaga Nie liczby całkowite, a liczby pierwsze. Drobna, ale istotna pomyłka w tłumaczeniu.