Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie

Zadania z teorii liczb - poziom łatwy


  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
2 odpowiedzi w tym temacie

#1 Arczi

Arczi

    Operator całkujący

  • Redaktor
  • 340 postów
104
Pomocnik I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 14.02.2010 - 19:45

Małe conieco na rozgrzewkę dla tych, którzy są z teorią liczb za pan brat ;)

Zadanie 1
Podaj największą liczbę całkowitą dodatnią n, dla której n^3+100 jest podzielna przez n+10.

Zadanie 2
Pokaż, że dla dowolnych dodatnich liczb całkowitych a oraz b liczba (36a+b)(a+36b) nie może być potęgą dwójki.

Zadanie 3
Liczba 27000001 ma dokładnie cztery czynniki pierwsze. Znajdź ich sumę.
  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 Ereinion

Ereinion

    Mega Rozkminiacz z Marsa

  • $Jr Admin
  • 2104 postów
1007
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 15.02.2010 - 00:02

Ad. 1

Z wzorów skróconego mnożenia i z warunków zadania mamy:

n=890 jest ok.



Ad.2

Załóżmy wbrew tezie. Niech (a,b) będzie takim rozwiązaniem (albo jednym z takich rozwiązań) równania (36a+b)(36b+a)=2^n, że a jest najmniejsze. Takie rozwiązanie istnieje, bo a jest ograniczone od dołu (x,y takich że x+y=n mamy 36a+b=2^x oraz a+36b=2^y.

Z pierwszego równania widać, że musi być b podzielne przez 4, więc kładziemy b=4b_1.

Ale z drugiego równania podobnie otrzymujemy a=4a_1.

Wobec tego 652.


  • 0

#3 Arczi

Arczi

    Operator całkujący

  • Redaktor
  • 340 postów
104
Pomocnik I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 16.02.2010 - 19:02

Szybko się z tym uporałeś ;) No ale nie ma się co dziwić. Jesteś w tej dziedzinie naprawdę WIELKI!
  • 0