Skocz do zawartości


Zdjęcie

Macierz zespolona - policzyć "z"


Ten temat został zarchiwizowany. Nie można odpowiadać w tym temacie.
2 odpowiedzi w tym temacie

#1 coxx

coxx

    Ułamek

  • Użytkownik
  • 6 postów
0
Neutralny

Napisano 09.02.2010 - 00:39

Witam po raz kolejny dzisiaj, może tym razem nie powędruje to na śmietnik...

Zad 3

W zbiorze liczb zespolonych rozwiązać równanie:


\begin{vmatrix}i & zsp & 0 \\ 0 & zsp & z \\ 1 & 0 & zsp\end{vmatrix}=0
{mój komentarz}: zsp oznacza liczbę sprzeżoną do z, nie wiem jak w mimetexie zrobić symbol (pozioma kreska) sprzężenia :)

Rozwiązania zaznaczyć na płaszczyźnie zespolonej...


Będe wdzięczny dozgonnie za rozwiązanie :P

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 etrapez.pl

etrapez.pl

    Nowicjusz

  • Użytkownik
  • 1 postów
0
Neutralny

Napisano 11.02.2010 - 09:09

Cześć

Zadanie łączy w sobie dwa zagadnienia:

1. Musisz policzyć wyznacznik z macierzy trzeciego stopnia

2. Musisz rozwiązać równanie zespolone

Zaczynamy od 1:
$$\left| {\matrix{<br />
   i & {\bar z} & 0  \cr <br />
   0 & {\bar z} & z  \cr <br />
   1 & 0 & {\bar z}  \cr <br />
<br />
 } } \right| = ?$$

Dopisujemy dwa pierwsze wiersze i liczymy regułą Sarrusa, tych "z" i ich sprzężeń się nie boimy ;)

$$\left| {\matrix{<br />
   i & {\bar z} & 0  \cr <br />
   0 & {\bar z} & z  \cr <br />
   1 & 0 & {\bar z}  \cr <br />
   i & {\bar z} & 0  \cr <br />
   0 & {\bar z} & z  \cr <br />
<br />
 } } \right| = i \cdot \bar z \cdot \bar z + 0 \cdot 0 \cdot 0 + 1 \cdot \bar z \cdot z - 0 \cdot \bar z \cdot 1 - z \cdot 0 \cdot i - \bar z \cdot \bar z \cdot 0 = i \cdot {\left( {\bar z} \right)^2} + \bar zz$$

Wyznacznik mamy. Teraz trzeba rozwiązać równanie zespolone:

$$i \cdot {\left( {\bar z} \right)^2} + \bar zz = 0$$

Podstawiamy $$z = x + iy$$ i mamy:

$$i \cdot {\left( {x - iy} \right)^2} + \left( {x - iy} \right)\left( {x + iy} \right) = 0$$

$$i \cdot \left( {{x^2} - 2xyi + {i^2}{y^2}} \right) + {x^2} - xyi + xyi - {y^2}{i^2} = 0$$

$$i \cdot \left( {{x^2} - 2xyi - {y^2}} \right) + {x^2} + {y^2} = 0$$ (bo $${i^2} =  - 1$$ )

$${x^2}i - 2xy{i^2} - {y^2}i + {x^2} + {y^2} = 0$$

$${x^2}i + 2xy - {y^2}i + {x^2} + {y^2} = 0$$

Teraz porównujemy do siebie części rzeczywistą i urojoną liczb zespolonych po obu stronach (tak się składa, że po prawej obie będą 0):

$$\left\{ \matrix{<br />
  2xy + {x^2} + {y^2} = 0 \hfill \cr <br />
  {x^2} - {y^2} = 0 \hfill \cr}  \right.$$

Układ nie taki może prosty, ale ciekawy patent - pierwsze równanie można elegancko zwinąć we wzór skróconego mnożenia:

$$2xy + {x^2} + {y^2} = 0$$

$${\left( {x + y} \right)^2} = 0$$

$$x + y = 0$$

$$y =  - x$$

Podstawiamy to do drugiego równania:

$${x^2} - {\left( { - x} \right)^2} = 0$$

$${x^2} - {x^2} = 0$$

$$0 = 0$$

Równanie jest zawsze spełnione, mamy więc nieskończenie wiele rozwiązań, połączonych związkiem $$y =  - x$$

Można to ładnie zapisać: $$Odp.\quad z = x - ix\quad gdzie\;x \in R$$

A jak przedstawić rozwiązanie na płaszczyźnie?

Po prostu narysować prostą $$y =  - x$$ :)

Ciekawe zadanie, powodzenia na kolokwium/egzaminie/poprawce
Pozdrawiam
Krystian Karczyński

#3 tadpod

tadpod

    Wielki Analityk

  • $Jr Admin
  • 7112 postów
3117
Profesor

Napisano 11.02.2010 - 11:27

[quote name='coxx' post='58562' date='9.02.2010, 0:39']W zbiorze liczb zespolonych rozwiązać równanie: ix-i^2y+x+iy=0 (x,y)=0 x+y+i(x+y)=0 x+y=0 ^{^{*R}}





Tematy podobne do: Macierz zespolona - policzyć "z"     x


Partnerem technologicznym jest dhosting.pl      Współpracują z nami     PortalMatematyczny.pl