Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie

typy równań


  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
2 odpowiedzi w tym temacie

#1 niusia

niusia

    Kombinator

  • Użytkownik
  • 164 postów
11
Mały Pomocnik I

Napisano 22.01.2010 - 11:48

x^2-3y^2+2xy \frac{ \mbox{d}y}{ \mbox{d}x }=0
  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 sakhmet

sakhmet

    Wielki Analityk

  • $Jr Admin
  • 3937 postów
2106
Starszy Wykładowca III
  • Płeć:Kobieta

Napisano 22.01.2010 - 12:40

x^2-3y^2+2xy\frac{\mbox{d}x}{\mbox{d}x}=0\\<br />\\P(x,y)=x^2-3y^2\\<br />\\Q(x,y)=2xy\\<br />\\\frac{\partial P}{\partial y}=-6y\\<br />\\\frac{\partial Q}{\partial x}=2y\neq \frac{\partial P}{\partial y}
Zatem równanie nie jest zupełne. szukamy takiego czynnika całkującego, który będzie zależny tylko od jednej zmiennej:
\frac{1}{Q(x,y)}\left(\frac{\partial P}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial x}\right)=\frac{-6y-2y}{2xy}=\frac{-4}{x}\\<br />\\\mbox{czyli }\\<br />\\\mu=\exp\left(\int \frac{-4\mbox{d}x}{x}\right)=\frac{1}{x^4}<br />\\
Mnożąc wyjściowe równanie stronami przez czynnik całkujący otrzymamy równanie zupełne:
\frac{x^2-3y^2}{x^4}+\frac{2y}{x^3}\frac{\mbox{d}x}{\mbox{d}x}=0\\<br />\\\frac{\partial F}{\partial x}=\frac{x^2-3y^2}{2y}\\<br />\\F(x,y)=\int \frac{x^2-3y^2}{2y}\mbox{d}x =-\frac{1}{x}+\frac{y^2}{x^3}+\varphi (y)\\<br />\\\frac{\partial F}{\partial y}=\frac{2y}{x^3}+\varphi' (y)\\<br />\\\frac{2y}{x^3}=\frac{2y}{x^3}+\varphi' (y)\\<br />\\\varphi' (y)=0\\<br />\\\varphi (y)=c\\<br />\\F(x,y)=-\frac{1}{x}+\frac{y^2}{x^3}+c\\<br />\\c_1=-\frac{1}{x}+\frac{y^2}{x^3}+c\\<br />\\y^2=c_2x^3+x^2
  • 0

#3 Mariusz M

Mariusz M

    Wielki Analityk

  • Użytkownik
  • Redaktor
  • 901 postów
414
Instruktor II
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 11.04.2016 - 21:15

Równanie jednorodne oraz Bernoulliego

 

 

Równanie jednorodne

 

x^2-3y^2+2xy\frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}x}=0\\</p>\\<p>y=ux\\</p>\\<p>\frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}x}=u'x+u\\</p>\\<p>x^2-3u^2x^2+2xux(u'x+u)=0\\</p>\\<p>x^2(1-3u^2+2u(u'x+u))=0\\</p>\\<p>1-3u^2+2u(u'x+u)=0\\</p>\\<p>1-3u^2+2uu'x+2u^2=0\\</p>\\<p>1-u^2+2uu'x=0\\</p>\\<p>2uu'x=u^2-1\\</p>\\<p>\frac{2u}{u^2-1}\mbox{d}u=\frac{\mbox{d}x}{x}\\</p>\\<p>\ln{\left|u^2-1\right|}=\ln|x|+\ln|C|\\</p>\\<p>u^2-1=Cx\\</p>\\<p>u^2x^2-x^2==Cx^3\\</p>\\<p>y^2=Cx^3+x^2</p>\\<p>

 

Równanie Bernoulliego

 

x^2-3y^2+2xy\frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}x}=0\\</p>\\<p>y^2=u\\</p>\\<p>2y\frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}x}=u'\\</p>\\<p>x^2-3u+xu'=0\\</p>\\<p>xu'-3u=-x^2\\</p>\\<p>xu'-3u=0\\</p>\\<p>xu'=3u<br>\\\frac{\mbox{d}u}{u}=3\frac{\mbox{d}x}{x}\\</p>\\<p>\ln{\left|u\right|}=3\ln{|x|}+\ln{|C|}\\</p>\\<p>u=Cx^3\\</p>\\<p>u\left(x\right)=C\left(x\right)x^3\\</p>\\<p>x\left(C'\left(x\right)x^3+3x^2C\left(x\right)\right)-3C\left(x\right)x^3=-x^2\\</p>\\<p>C'\left(x\right)x^4=-x^2\\</p>\\<p>C'\left(x\right)=-\frac{1}{x^2}\\</p>\\<p>C\left(x\right)=\frac{1}{x}+C_{1}\\</p>\\<p>u\left(x\right)=\left(\frac{1}{x}+C_{1}\right)x^3\\</p>\\<p>u\left(x\right)=x^2+C_{1}x^3\\</p>\\<p>y^2=x^2+C_{1}x^3\\</p>\\<p>


Użytkownik Mariusz M edytował ten post 12.04.2016 - 20:00

  • 0





Tematy podobne do: typy równań     x