Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie

V Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów


  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
8 odpowiedzi w tym temacie

#1 Ereinion

Ereinion

    Mega Rozkminiacz z Marsa

  • $Jr Admin
  • 2104 postów
1007
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 09.01.2010 - 19:24

Dziś odbył się drugi etap OMG, oto zadania:

Załączony plik  OMG_II_etap.PDF   60.3 KB   207 Ilość pobrań

Zapraszam do zamieszczania swoich rozwiązań/przemyśleń (tylko może w tagach "hide" żeby ew. nie psuć zabawy innym jak z rozpędu zaczną czytać :) )
  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 Tomalla

Tomalla

    =-.-= Spatter Guy =-.-=

  • $Jr Admin
  • Redaktor
  • 3211 postów
1037
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 12.01.2010 - 20:31

Mam mały pomysł, jeżeli chodzi o zadanie z teorii liczb ( zad. 3 ):


Mamy n^2+n+3=n(n+1)+3. Skoro liczba musi być pierwsza, to n=3k+1 dla k\in\mathbb{N}_0. Kiedy podstawimy tą wartość do wyrażenia n^2+n+1, otrzymujemy (3k+1)^2+3k+1+1=3(3k^2+3k+1). Liczba ta wobec tego zawsze będzie podzielna przez 3. Jedyną możliwością będzie więc, gdy 3k^2+3k+1=1\qquad\Rightarrow\qquad k=0, przez co otrzymujemy tylko jedno rozwiązanie: \re n=1. Powstałymi liczbami będą wtedy: 3 oraz 5.

Czekam na potwierdzenie, czy dobrze zrobiłem :rolleyes:
  • 0
________
Nie rozwiązuję zadań poprzez PMy!
Nie zaśmiecać mi skrzynki odbiorczej wiadomościami typu "pomóż mi w następnym zadaniu" etc.
Tego typu wiadomości będę po prostu ignorował i od razu usuwał.


=-.-= ToMaLlA - General Modder in games with QuaKe 3 and DooM III EnGiNes =-.-=

#3 Ereinion

Ereinion

    Mega Rozkminiacz z Marsa

  • $Jr Admin
  • 2104 postów
1007
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 12.01.2010 - 21:15

dobrze :mellow:


jakby chcieć inaczej to można pokazać, że 3|n(n+1) gdy 3|n(n+1)+1 gdy n=3k+1 . No i dalej to już tylko formalność :o


osobiście polecam geometrię (zad 2.) wystarczy kilka dobrych kresek dorysować i wszystko widać :rolleyes:
  • 0

#4 Matlimito

Matlimito

    Nowicjusz

  • Użytkownik
  • 1 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 20.01.2010 - 16:52

a ja zrobiłem te zadania tak :

1 uzasadniłem ze dla liczby ujemnej lub kilku jest to niemożliwe

2 kilka kresek, katy 60 30 90 w trójkącie, pitagoras -wszystko ładnie widać.

3
5

jedyne rozwaznie jest mozliwe dla 1,2,3,4,5,6

znajomi posczegolnych osob

1 : 2,3,4
2 : 1,5,6
3 : 1,4,5
4 : 1,3,6
5 : 2,3,6
6 : 2,4,5

okragly stol , 'ludki siedza kolejno

1,2,5,3

czy jest to dobrze zrobione ?

i zadanie ostatnie napislem odpowiedz
:
ni emoze byc, bo nie ;)

Uwaga!

Poprawiłem zapis, bo jest to Twój pierwszy post na forum i doceniam, że od razu wziąłeś się za OMG. Każdy następny post z nieregulaminowym zapisem zostanie usunięty ;)

Ereinion


  • 0

#5 Ereinion

Ereinion

    Mega Rozkminiacz z Marsa

  • $Jr Admin
  • 2104 postów
1007
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 20.01.2010 - 17:31

[quote name='Matlimito' date='20.01.2010, 16:53' post='56558']1 uzasadniłem ze dla liczby ujemnej lub kilku jest to niemożliwe[/quote]
no tak, bo to trzeba zrobić w zadaniu, ale pytanie jak to udowodniłeś...
[quote]2 kilka kresek, katy 60 30 90 w trójkącie, pitagoras -wszystko ładnie widać.[/quote]
być może poprawnie, jak chcesz to napisz dokładnie co i jak zrobiłeś i najlepiej daj rysunek to przedyskutujemy rozwiązanie ;)
[quote]3
1,2,3,4,5,6

znajomi posczegolnych osob

1 : 2,3,4
2 : 1,5,6
3 : 1,4,5
4 : 1,3,6
5 : 2,3,6
6 : 2,4,5

okragly stol , 'ludki siedza kolejno

1,2,3 . Jeżeli chciałbyś to w ten sposób rozwiązać to musiałbyś rozpatrzeć wszystkie możliwe "układy" znajomych
  • 0

#6 bronstein

bronstein

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • 1069 postów
324
Instruktor I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 25.01.2010 - 21:36

Po wczorajszym zadaniu od Nitro z trapezem to też udało mi się zrobić. Przedłużając ramiona AD i BC (niech się przetną w punkcie F) powstanie duży trójkąt równoboczny, oraz mały też równoboczny. Wówczas długość DC jest równa FC oraz ED. W dużym trójkącie z wierzchołka A prowadzimy wysokość która jak wiemy przecina bok BF w połowie i zauważamy, że punkty C oraz E są równo odległe od punktu przecięcia wysokości z bokiem BF. Możemy zatem zbudować trójkąt równoramienny w którym AC jest równe AE. Korzystając z tego że trapez jest równoramienny i długość AC jest równa długości BD mamy koniec zadania.

Jest OK?
  • 0

#7 Ereinion

Ereinion

    Mega Rozkminiacz z Marsa

  • $Jr Admin
  • 2104 postów
1007
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 25.01.2010 - 21:57

Jest ok :)

To jeszcze ja się moim rozwiązaniem podzielę:

Niech przedłużenia BC i AD przecinają się w F. Wtedy DF=BE. Obróćmy płaszczyznę o 120^o wokół środka trójkąta ABF przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Odcinek AE przejdzie na BD. Ale obrót płaszczyzny jest izometrią, więc AC=BD. :)

  • 0

#8 bronstein

bronstein

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • 1069 postów
324
Instruktor I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 26.01.2010 - 17:36

Jest ok :)

To jeszcze ja się moim rozwiązaniem podzielę:


Niech przedłużenia BC i AD przecinają się w F. Wtedy DF=BE. Obróćmy płaszczyznę o 120^o wokół środka trójkąta ABF przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Odcinek AE przejdzie na BD. Ale obrót płaszczyzny jest izometrią, więc AC=BD. :)



Hej,

płaszczyznę to znaczy ten trapez? A skąd wiemy, że rzeczywiście AE przejdzie na BD - przepraszam za moje pytania ale nie potrafię tego dostrzec - czy ten kąt przy wierzchołku C który jest równy 120 stopni nam mówi, że właśnie obrót o 120 stopni spowoduje, że punkt E będzie w miejscu D?

Czy ten obrót nie powinien być o 240 stopni żeby było dobrze?
  • 0

#9 Ereinion

Ereinion

    Mega Rozkminiacz z Marsa

  • $Jr Admin
  • 2104 postów
1007
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 26.01.2010 - 19:54

płaszczyznę to znaczy ten trapez?

Płaszczyznę czyli wszystko co na niej jest ;) można mówić też o obracaniu samego trójkąta ABF, na jedno wychodzi.

A skąd wiemy, że rzeczywiście AE przejdzie na BD

Niech O(P) będzie obrazem punktu P po obrocie takim jak pisałem. Zacznijmy od tego że O(A)=B, O(B)=F i O(F)=C. W takim razie bok BF "wyląduje" tam gdzie był przed obrotem bok AF. No ale skoro BE=FD to O(E)=D. To jak uwzględnimy jeszcze że O(A)=B oraz, że obrót jest izometrią to wnioskujemy, że odcinek AE przejdzie na BD.

czy ten kąt przy wierzchołku C który jest równy 120 stopni nam mówi, że właśnie obrót o 120 stopni spowoduje, że punkt E będzie w miejscu D?

Tutaj kąt przy wierzchołku C i generalnie to, że ABCD jest jakimś tam trapezem nie ma znaczenia. Wystarczy skupić się na obracaniu samego trójkąta równobocznego ABF. A to że obracamy o 120^o wzięło się stąd, że jak ze środka trójkąta równobocznego poprowadzimy odcinki do wierzchołków to te odcinki są do siebie pod kątem właśnie 120^o :D

Czy ten obrót nie powinien być o 240 stopni żeby było dobrze?

Mam nadzieję, że po powyższych uwagach już widać, że kąt 120^o wystarczy.

O obrotach trójkąta równobocznego jest trochę tu: http://dogschool.tri...anglegroup.html po angielsku i tutaj http://pl.wikipedia....Działanie_grupy w ramce po prawej stronie.
  • 0





Tematy podobne do: V Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów     x