Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie

Oblicz długości boków trójkąta


  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
17 odpowiedzi w tym temacie

#1 Ereinion

Ereinion

    Mega Rozkminiacz z Marsa

  • $Jr Admin
  • 2104 postów
1008
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 06.01.2010 - 23:59

W trójkącie ABC: M- środek boku AB, N- środek boku AC. Okrąg wpisany w czworokąt NMBC jest styczny do boku MN w punkcie X. Okrąg wpisany w trójkąt AMN jest styczny do boku MN w punkcie Y, przy czym Y leży między X i N.
Wiedząc, że |XY|=1, |BC|=12, oblicz długości boków AB i AC.
:rolleyes:
  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 tadpod

tadpod

    Wielki Analityk

  • $Jr Admin
  • 7153 postów
3155
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 07.01.2010 - 22:50

W trójkącie ABC: M- środek boku AB, N- środek boku AC. Okrąg wpisany w czworokąt NMBC jest styczny do boku MN w punkcie X. Okrąg wpisany
w trójkąt AMN jest styczny do boku MN w punkcie Y, przy czym Y leży między X i N. Wiedząc, że |XY|=1, |BC|=12, oblicz długości boków AB i AC. :huh:

... otóż, wyszło mi |AB|=19 i |AC|=17, mogę napisać jak i co, ale czy ktoś jest zainteresowany tym, oprócz ciebie
Ereinion-ie, który przecież wiesz o co tu chodzi; mam na myśli tw. o stycznych z punktu poza okręgiem, które tu
załatwia całe rozwiązanie, no i tw. o odcinku łączącym środki dwóch kolejnych boków trójkąta. ... ;)
  • 0

#3 bronstein

bronstein

    Wielki Analityk

  • VIP
  • 1069 postów
324
Instruktor I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 08.01.2010 - 19:08

... otóż, wyszło mi |AB|=19 i |AC|=17, mogę napisać jak i co, ale czy ktoś jest zainteresowany tym, oprócz ciebie
Ereinion-ie, który przecież wiesz o co tu chodzi; mam na myśli tw. o stycznych z punktu poza okręgiem, które tu
załatwia całe rozwiązanie, no i tw. o odcinku łączącym środki dwóch kolejnych boków trójkąta. ... ;)



Witam,

ja jestem ciekawy i przy okazji mam pytanie o jakąś fajną książkę dotyczącą geometrii.

Ps. Jeżeli rozwiązanie jest za długie to napisz prosze twierdzenie o stycznych z punktu poza okręgiem :huh:

Z góry dziękuję.
  • 0

#4 tadpod

tadpod

    Wielki Analityk

  • $Jr Admin
  • 7153 postów
3155
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 08.01.2010 - 20:08

... mniej więcej tak: jeśli przez jakiś punkt P poza okręgiem poprowadzisz dwie proste styczne do okręgu w punktach np. jedna A, druga B,
to długości odcinków tych stycznych są równe, czyli |PA|=|PB|;
a w tym zadaniu par takich odcinków masz 4+3=7, czyli aż siedem i dlatego ja wprowadziłem sobie 4 pomocnicze niewiadome, których,
okazało się, wystarczy tylko 3; no a dalej proste 3 równania wynikające z warunków w zadaniu i na koniec .... dodawanie obliczonych długości odcinków . ... ;) ^{^{*R}
  • 0

#5 bronstein

bronstein

    Wielki Analityk

  • VIP
  • 1069 postów
324
Instruktor I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 08.01.2010 - 21:26

... mniej więcej tak: jeśli przez jakiś punkt P poza okręgiem poprowadzisz dwie proste styczne do okręgu w punktach np. jedna A, druga B,
to długości odcinków tych stycznych są równe, czyli |PA|=|PB|;
a w tym zadaniu par takich odcinków masz 4+3=7, czyli aż siedem i dlatego ja wprowadziłem sobie 4 pomocnicze niewiadome, których,
okazało się, wystarczy tylko 3; no a dalej proste 3 równania wynikające z warunków w zadaniu i na koniec .... dodawanie obliczonych długości odcinków . ... ;) ^{^{*R}



Kurcze skorzystałem z tego twierdzenia i brakuje mi danych do dokończenia zadania. Obliczyłem, że okrąg wpisany w czworokąt dzieli bok BC na odcinki 5 i 7 (mam nadzieję, że dobrze to zrobiłem). Dalej długość AC wyszła mi 12+2b, długość AB to 14+2c gdzie b+c+1=6 (tą własność mam z odcinka łączącego środki boków). Czego mi brakuje?

PS. Coś naskrobałem na kartce i wyszło mi że AC ma mieć 20 , a AB 16 ...
  • 0

#6 Tomalla

Tomalla

    =-.-= Spatter Guy =-.-=

  • $Jr Admin
  • Redaktor
  • 3211 postów
1037
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 08.01.2010 - 22:23

Oznaczyłem sobie długość odcinka NY jako 'a'. Wtedy mam:

\{|AB|=24+2a\\|AC|=24-2a

Nawet bez znajomości długości odcinka NY łatwo dojść do tego, że ani rozwiązanie tadpoda, ani Twoje bronstein nie pasuje pod to ;) Czyli mamy trzy różne rozwiązania :huh: Czekamy na odpowiedź od Ereiniona w takim razie :P

PS. Te odcinki o którym mówisz bronstein, to są oczywiście 5 i 7 - mi też tak wyszło.
  • 0
________
Nie rozwiązuję zadań poprzez PMy!
Nie zaśmiecać mi skrzynki odbiorczej wiadomościami typu "pomóż mi w następnym zadaniu" etc.
Tego typu wiadomości będę po prostu ignorował i od razu usuwał.


=-.-= ToMaLlA - General Modder in games with QuaKe 3 and DooM III EnGiNes =-.-=

#7 bronstein

bronstein

    Wielki Analityk

  • VIP
  • 1069 postów
324
Instruktor I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 08.01.2010 - 22:26

Oznaczyłem sobie długość odcinka NY jako 'a'. Wtedy mam:

\{|AB|=24+2a\\|AC|=24-2a

Nawet bez znajomości długości odcinka NY łatwo dojść do tego, że ani rozwiązanie tadpoda, ani Twoje bronstein nie pasuje pod to ;) Czyli mamy trzy różne rozwiązania :huh: Czekamy na odpowiedź od Ereiniona w takim razie :P

PS. Te odcinki o którym mówisz bronstein, to są oczywiście 5 i 7 - mi też tak wyszło.



To nam się teraz porobiło :) Mam nadzieję, że przed snem ten problem zostanie rozwiązany.
  • 0

#8 Ereinion

Ereinion

    Mega Rozkminiacz z Marsa

  • $Jr Admin
  • 2104 postów
1008
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 08.01.2010 - 22:34

Ok, jakby ktoś chciał sobie sprawdzić jak ja to widzę:

Patrząc na rysunek w załączniku
tr_jkat_na_forum.JPG

mamy:

Z treści zadania:

|XY|=1

|BC|=12

Czyli łatwo policzyć, że

MN=6

AB+AC=2(MB+NC)=36

AP=\frac{AN+AM+MN}{2}-MN=12-6=6

PN=\frac{AN+AM+MN}{2}-AM=12-AM

zbierając powyższe:

AB+AC=36 daje końcowy wynik ;)


@bronstein - dużo fajnej geometrii jest w Pawłowskim "Zadania z olimpiad matematycznych z całego świata - Planimetria i stereometria", a jeśli obcojęzyczna literatura też Ci pasuje to chyba najbardziej znanym geometrycznym "gigantem" jest zbiór Prasolova (ponad 500 stron z samej planimetrii + 240 ze stereometrii) osobiście też lubię "Geometry revisited" Coxetera i Greitzera :huh:
  • 0

#9 bronstein

bronstein

    Wielki Analityk

  • VIP
  • 1069 postów
324
Instruktor I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 08.01.2010 - 22:38

Ok, jakby ktoś chciał sobie sprawdzić jak ja to widzę:

Patrząc na rysunek w załączniku
tr_jkat_na_forum.JPG

mamy:


Z treści zadania:

|XY|=1

|BC|=12

Czyli łatwo policzyć, że

MN=6

AB+AC=2(MB+NC)=36

AP=\frac{AN+AM+MN}{2}-MN=12-6=6

PN=\frac{AN+AM+MN}{2}-AM=12-AM

zbierając powyższe:

AB+AC=36 daje końcowy wynik :huh:

@bronstein - dużo fajnej geometrii jest w Pawłowskim "Zadania z olimpiad matematycznych z całego świata - Planimetria i stereometria", a jeśli obcojęzyczna literatura też Ci pasuje to chyba najbardziej znanym geometrycznym "gigantem" jest zbiór Prasolova (ponad 500 stron z samej planimetrii + 240 ze stereometrii) osobiście też lubię "Geometry revisited" Coxetera i Greitzera :P


Dziękuję za podręczniki, ciekawe czy na mojej wiosce takie dostanę ;)

Ps. rysunek który załączyłeś nie współgra z treścią zadania którą podałęś, chodzi o kolejność punktów X i Y !
  • 0

#10 Ereinion

Ereinion

    Mega Rozkminiacz z Marsa

  • $Jr Admin
  • 2104 postów
1008
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 08.01.2010 - 22:44

a tak, zapomniałem o tym, ale mam nadzieję że odpowiednie literki każdy sobie sam zamieni (w istocie rozwiązania nic się nie zmienia)

jakby były problemy z zamianą literek to:

wystarczy zamienić wszędzie B z C i M z N


mam nadzieję, że teraz już ok wszystko jest :huh:

@ Tomalla: mam nową porcję zadanek z Teorii Liczb, niektóre nawet fajne ;)
  • 0

#11 Tomalla

Tomalla

    =-.-= Spatter Guy =-.-=

  • $Jr Admin
  • Redaktor
  • 3211 postów
1037
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 08.01.2010 - 22:49

Możesz na forum umieścić, może bronstein się zainteresuje ;) Póki co jednak, próbuję znaleźć błęda w moim rozwiązaniu. Ten myk z proporcjonalnymi odcinkami PN i CE ( z rysunku ) rozwiązuje wszystkie problemy, ale gdzieś musiałem i tak literówkę popełnić ;/
  • 0
________
Nie rozwiązuję zadań poprzez PMy!
Nie zaśmiecać mi skrzynki odbiorczej wiadomościami typu "pomóż mi w następnym zadaniu" etc.
Tego typu wiadomości będę po prostu ignorował i od razu usuwał.


=-.-= ToMaLlA - General Modder in games with QuaKe 3 and DooM III EnGiNes =-.-=

#12 bronstein

bronstein

    Wielki Analityk

  • VIP
  • 1069 postów
324
Instruktor I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 08.01.2010 - 23:00

a tak, zapomniałem o tym, ale mam nadzieję że odpowiednie literki każdy sobie sam zamieni (w istocie rozwiązania nic się nie zmienia)

jakby były problemy z zamianą literek to:


wystarczy zamienić wszędzie B z C i M z N

mam nadzieję, że teraz już ok wszystko jest :P

@ Tomalla: mam nową porcję zadanek z Teorii Liczb, niektóre nawet fajne :huh:


Rozwiązałem to zadanie
(1) trzymając się treści i nie sporządzając rysunku w programie (tylko brzydki ręczny - oznaczenia jak na twoim jednak punkt y umieściłem między X a N) wychodzi mi AC = 20 i AB = 16
(2) robiąc to zadanie na twoim rysunku tą samą metodą co (1) rzeczywiście wychodzi mi tyle co Tobie :)

Nie wiem może popełniłem błąd w obliczeniach pod (1)

Możesz na forum umieścić, może bronstein się zainteresuje :) Póki co jednak, próbuję znaleźć błęda w moim rozwiązaniu. Ten myk z proporcjonalnymi odcinkami PN i CE ( z rysunku ) rozwiązuje wszystkie problemy, ale gdzieś musiałem i tak literówkę popełnić ;/


Teoria liczb to za rok w tym nadrabiam zaległości z geometrii ;) Nigdy nie lubiłem teorii liczb (a może ogromu twierdzeń tam występujących)

Ps. Zajmujecie się zawodowo matematyką czy to po prostu wasza pasja?
  • 0

#13 Tomalla

Tomalla

    =-.-= Spatter Guy =-.-=

  • $Jr Admin
  • Redaktor
  • 3211 postów
1037
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 08.01.2010 - 23:02

Zawodowo? Dopiero gimnazjum kończę ;> W każdym razie bardziej to chyba w kierunku programowania i informatyki idę ;)
  • 0
________
Nie rozwiązuję zadań poprzez PMy!
Nie zaśmiecać mi skrzynki odbiorczej wiadomościami typu "pomóż mi w następnym zadaniu" etc.
Tego typu wiadomości będę po prostu ignorował i od razu usuwał.


=-.-= ToMaLlA - General Modder in games with QuaKe 3 and DooM III EnGiNes =-.-=

#14 bronstein

bronstein

    Wielki Analityk

  • VIP
  • 1069 postów
324
Instruktor I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 08.01.2010 - 23:05

Zawodowo? Dopiero gimnazjum kończę ;> W każdym razie bardziej to chyba w kierunku programowania i informatyki idę ;)


To pięknie, że w takim wieku macie tak dużą wiedzę. Chyba przespałem ostatnie kilka lat:P
  • 0

#15 Ereinion

Ereinion

    Mega Rozkminiacz z Marsa

  • $Jr Admin
  • 2104 postów
1008
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 08.01.2010 - 23:09

u mnie póki co to pasja, ale planuję na studia na matmę iść i się tym zawodowo zająć (tylko nie wiem jeszcze co konkretnie)

@bronstein: To jak w tym roku geometrię robisz, to będę co jakiś czas jakieś ciekawe zadanko geometryczne wrzucał ;)
  • 0

#16 tadpod

tadpod

    Wielki Analityk

  • $Jr Admin
  • 7153 postów
3155
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 08.01.2010 - 23:19

hmm ..., na rys. widzę inaczej, a w treści zadania Y , czyli punkt styczności małego koła ( tego w trójkącie)
ma leżeć między X i N, a nie między X i M jak na rys. - to jest chyba istotne (ja tak robiłem), co wy na to ? . ... ;)

przepraszam odskoczyłem od telewizora i nie wiedziałem ,że już wyżej co do oznaczeń dyskutowaliście, dalej oglądać TV i potem zobaczę co i jak wyżej ...
  • 0

#17 bronstein

bronstein

    Wielki Analityk

  • VIP
  • 1069 postów
324
Instruktor I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 08.01.2010 - 23:22

u mnie póki co to pasja, ale planuję na studia na matmę iść i się tym zawodowo zająć (tylko nie wiem jeszcze co konkretnie)

@bronstein: To jak w tym roku geometrię robisz, to będę co jakiś czas jakieś ciekawe zadanko geometryczne wrzucał :P


Ok :huh: z tym, że nie rozpędzaj się tak bo praca zawodowa mimo, że jest bardzo związana z matematyką uniemożliwia mi szybkie uczenie takie jak kiedyś, wręcz pokusiłbym się, że przez ostatnie 2 lata cofnąłem się z wiedzą do poziomu sprzed lat 10 hehe. Opowiedziałbym wam moją historię to byście mnie wyśmiali dlatego to będzie moja słodka tajemnica.

Ps. jak już chcesz iść na matematykę to wybierz sobie matematykę stosowaną na jakiejś uczelni technicznej i najlepiej na niej zostań jak będziesz miał możliwość :)

@Ereinion

Czy te zadania z twojego bloga będziesz rozwiązywał? (chodzi o 2 pierwsze) starałem się je rozgryźć ale nie dam rady! a chciałbym zobaczyć co trzeba w nich zamieszać.


hmm ..., na rys. widzę inaczej, a w treści zadania Y , czyli punkt styczności małego koła ( tego w trójkącie)
ma leżeć między X i N, a nie między X i M jak na rys. - to jest chyba istotne (ja tak robiłem), co wy na to ? . ... ;)



Mi wyszły dwa różne wyniki jak rozpatrzyłem dwa różne rysunki a robiłem tą samą metodą :)
  • 0

#18 Tomalla

Tomalla

    =-.-= Spatter Guy =-.-=

  • $Jr Admin
  • Redaktor
  • 3211 postów
1037
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 08.01.2010 - 23:29

Spójrz na sekcję komentarzy jeszcze raz, bo Ereinion odpisał :huh: Tam masz odpowiedź na swoje pytanie. Ja nie mogę zrobić zadania z teorii liczb i tej trudniejszej nierówności, więc też czekam z niecierpliwością ;)
  • 0
________
Nie rozwiązuję zadań poprzez PMy!
Nie zaśmiecać mi skrzynki odbiorczej wiadomościami typu "pomóż mi w następnym zadaniu" etc.
Tego typu wiadomości będę po prostu ignorował i od razu usuwał.


=-.-= ToMaLlA - General Modder in games with QuaKe 3 and DooM III EnGiNes =-.-=