Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie

Ostrosłup prawidłowy czworokątny

twierdzenie Pitagorasa

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
1 odpowiedź w tym temacie

#1 max04

max04

    Wymierny

  • Użytkownik
  • 48 postów
2
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 09.12.2009 - 15:02

Witam, mam zadanie ze stereometrii, jest ono dosyć trudne:
Treść: W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym odległości środka wysokości od krawędzi bocznej i ściany bocznej wynoszą odpowiednio: a i b. Obliczyć objętość ostrosłupa.

Ja oznaczyłem sobie wysokość ostrosłupa jako 2x ( jej połowy wynoszą x). Krawędź podstawy jako k, a krawędź boczną jako c i wys. trójkąta równoramiennego (ściany bocznej) jako h. Utworzyłem 3 trójkąty prostokątne, z tw. pitagorasa uzyskałem 3 układy równań, z których po wyliczeniach wyszło mi, że k^2=16x^2. Mamy obliczyć objętość, więc Pp*H. Wysokość= 2x, a Pp=k^2= 16x^2. Teraz tylko trzeba uzależnić x od a i b, myślę, że trzeba to zrobić z dwóch trójkątów prostokątnych, które powstały po poprowadzeniu odległości od krawędzi bocznej i ściany bocznej, ale ani z własności sinusów ani z cosinów, ani z niczego innego nie mogę tego wyznaczyć, stąd moja prośba o pomoc,
dziękuję z góry
  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 Kinia7

Kinia7

    Wielki Analityk

  • ^Przyjaciele
  • 3137 postów
424
Instruktor II
  • Płeć:Kobieta

Napisano 29.03.2016 - 14:08

c  - bok podstawy (kwadrat);  p  - przekątna podstawy;  H  - wysokość ostrosłupa;  k  - krawędź boczna;  h  - wysokość ściany;  
z tw. Pitagorasa  k^2=H^2+\(\fr12p\)^2 \quad\to\quad k^2=H^2+\fr12c^2
z podobieństwa trójkątów   \fr{a}{\fr12H}=\fr{\fr12p}{k} \quad\to\quad k^2=\fr{p^2H^2}{16a^2}=\fr{c^2H^2}{8a^2}
H^2+\fr12c^2=\fr{c^2H^2}{8a^2}\ /\cd8a^2 \quad\to\quad 8a^2H^2+4a^2c^2=c^2H^2       (1*)
z tw. Pitagorasa  h^2=H^2+\(\fr12c\)^2
z podobieństwa trójkątów   \fr{b}{\fr12H}=\fr{\fr12c}{h} \quad\to\quad h^2=\fr{c^2H^2}{16b^2}
H^2+\(\fr12c\)^2=\fr{c^2H^2}{16b^2}\ /\cd16b^2 \quad\to\quad 16b^2H^2+4b^2c^2=c^2H^2       (2*)
łącząc  (1*)  i  (2*)  i podstawiając  c^2=x\ \ \ \ H^2=y
\{4a^2x+8a^2y=xy\\4b^2x+16b^2y=xy   \quad\to\quad \{x=\fr{8a^2b^2}{a^2-b^2}\\y=\fr{4a^2b^2}{2b^2-a^2}   \quad\to\quad H=\fr{2ab}{\sq{2b^2-a^2}}
V=\fr13P_pH=\fr13c^2H=\fr13xH=\fr13\cd\fr{8a^2b^2}{a^2-b^2}\cd\fr{2ab}{\sq{2b^2-a^2}}=\fr{16a^3b^3}{3(a^2-b^2)\sq{2b^2-a^2}}
 

  • 0





Tematy podobne do: Ostrosłup prawidłowy czworokątny     x