Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie

Zbadać ciągłość funkcji


  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
1 odpowiedź w tym temacie

#1 agusia272

agusia272

    Nowicjusz

  • Użytkownik
  • 3 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Kobieta

Napisano 06.12.2009 - 13:53

Mam do zrobienia takie zadanie:

1. Zbadać ciągłość funkcji f: R^{2} \rightarrow R określonej następująco:
f(x,y)=(x+y)\sin\frac{1}{x}\sin\frac{1}{y} , jeżeli  xy \neq 0 \;i\; f(x,y)=0 , jeśli  xy=0

Oto mój tok rozumowania. Proszę o ewentualne wskazówki co mam źle. No i jeśli piszę coś za dużo/nie potrzebnie to także prosiłabym o informacje.
1. Zauważam, że funkcja ciągła dla xy \neq 0. I udowadniam to w ten sposób:

2. Badam ciągłość w punkcie (0,0)
\lim_{ x\to 0^{-} } = y * sin1/0 * sin \frac1/y=0= \lim_{ x\to 0^{+} }<br />\\\lim_{ y\to 0^{-} } = x * sin1/0* sin1/x=0= \lim_{ y\to 0^{+} }
Z tego wynika, że funkcja jest ciągła w punkcie (0,0)

3. Badam ciągłość na osi Ox:
- \lim_{ x\to 1^{-} }(1+y)sin1*sin1/y= \lim_{ x\to 1^{+} }= (1+y)sin1*sin1/y
- \lim_{ y\to 0^{-} } x*0=0= \lim_{ y\to 0^{+} }
Czyli z tych czterech wyliczeń wynikać, że funkcja ciągła na osi Ox

4. Badam ciągłość na Oy:
- \lim_{ y\to 1^{-} }= (x+1)sin1*sin1/x= \lim_{ y\to 1^{+} }= (x+1)sin1*sin1/x
- \lim_{ x\to 0^{-} } y*0=0= \lim_{ x\to 0^{+} }
Czyli z tych czterech wyliczeń wynikać, że funkcja ciągła na osi Oy.

Czy w ten sposób udowodniłam, że funkcja f: R^{2} \rightarrow R jest ciągła ?
  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 4024 postów
3299
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 06.11.2019 - 10:49

1.Zauważ najpierw, że f jest ciągła w tych wszystkich punktach (x,y) gdzie xy\neq 0  - ponieważ masz iloczyn funkcji ciągłych.
2. Następnie  należy zbadać ciągłość w punkcie (0,0)
3. Pozostaje zbadać ciągłość na osiach OX oraz OY, tj gdy jedna ze zmiennych dowolna a druga równa zeru (x dolowne, y=0, y dowolne x=0) - dwa przypadku ale są symetryczne więc możesz rozważyć jeden a drugi załatwić komentarzem ze symetryczne)

 

reasumując zastanów się co punktami 3,4 w twoim wywodzie w aspekcie dowolności
 


  • 1

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską






Tematy podobne do: Zbadać ciągłość funkcji     x