Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie

ciąg arytmetyczny

ciąg arytmetyczny

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
2 odpowiedzi w tym temacie

#1 amino

amino

    Wymierny

  • Użytkownik
  • 42 postów
0
Neutralny

Napisano 01.03.2008 - 17:36

Belki ułożono warstwami w ten sposób że na dole jest 60 belek a każda kolejna wyższa warstwa zawiera o 2 belki mniej niż poprzednia. łącznie ułożono 720 belek.
a) ile jest warstw belek?
B) ile belek jest w najwyższej warstwie?
  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 Jamnowaczek89

Jamnowaczek89

    Wielki Analityk

  • VIP
  • 1107 postów
193
Pomocnik II
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 01.03.2008 - 18:27

Belki ułożono warstwami w ten sposób że na dole jest 60 belek a każda kolejna wyższa warstwa zawiera o 2 belki mniej niż poprzednia. łącznie ułożono 720 belek.
a) ile jest warstw belek?
B) ile belek jest w najwyższej warstwie?


a_1=60

suma tego ciągu wynosi 720, natomiast r=-2

a) warstw będzie tyle samo co wyrazów ciągu

S_n=720
a_n wzór na enty wyraz ciągu arytm.
720=61n-n^2

n^2-61n+720=0

\sqrt{\Delta}=29

n_1=\frac{61-29}{2}=16

n_2=\frac{61+29}{2}=45

n_2 odrzucamy ponieważ mielibyśmy ujemne wyrazy ciągu, a nasz ciąg ma tylko dodatnie wyrazy

więc Odpowiedź: Jest 16 warstw belek.

B) a_16=60+(16-1)(-2)=60-30=30

Odpowiedź: w najwyższej warstwie jest 30 belek.
  • 0

#3 tadpod

tadpod

    Wielki Analityk

  • $Jr Admin
  • 7153 postów
3155
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 01.03.2008 - 18:51

Belki ułożono warstwami w ten sposób że na dole jest 60 belek a każda kolejna wyższa warstwa zawiera o 2 belki mniej niż poprzednia. łącznie ułożono 720 belek.
a) ile jest warstw belek?
B) ile belek jest w najwyższej warstwie?

otóż, ułożone belki tworzą ciąg (a_n ) - arytmetyczny malejący, w którym:\ n - liczba warstw (n\in N^{+}) układanych belek i  \{a_1=60\\ r=-2\ , zaś

a_n=a_1+(n-1)\cdot r=60-2(n-1)=60-2n+2=62-2n\ i \ S_n=720\ <=> \ \frac{n}{2}\cdot(a_1+a_n)=720\ /\cdot 2\ <=>

<=> \ n(60+62-2n)=720\cdot 2\ /:2\  <=> \ n(61-n)=720\ <=>\ n^2-61n+720=0\ , \ \Delta=61^2-4\cdot 720=\  ...\  =841 ,\  \sqrt \Delta=29\ ,

zatem \ n=\frac{61-29}{2}=16\ , lub \ n=\frac {61+29}{2}=45\ , ale z warunku \ a_n>0\ (n\in N^{+})<=> \ 62-2n>0\ <=> \ 0<n<31\ , więc \ n=16\ - tyle było warstw.

B) zatem \ a_{16}=62-2\cdot 16=82-32=30\ \ , czyli w najwyższej warstwie było 30 belek. ... 8)
  • 0