Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie

Ciąg arytmetyczny i geometryczny

ciąg arytmetyczny

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
1 odpowiedź w tym temacie

#1 luskat

luskat

    Nowicjusz

  • Użytkownik
  • 3 postów
0
Neutralny

Napisano 29.02.2008 - 22:44

Liczby a, b, c tworzą ciąg arytmetyczny, natomiast liczby \frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{a+b+c} ciąg geometryczny. Wyznacz ciąg arytmetyczny i iloraz ciągu geometrycznego.
  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 tadpod

tadpod

    Wielki Analityk

  • $Jr Admin
  • 7153 postów
3155
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 29.02.2008 - 23:56

Liczby a, b, c tworzą ciąg arytmetyczny, natomiast liczby 1/a, 1/b, 1/(a+b+c) ciąg geometryczny. Wyznacz ciąg arytmetyczny i iloraz ciągu geometrycznego.

otóż, z tresci zadania wynika, że \ a,b,c\ - wyrazy ciągu arytmetycznego, więc z tw. o trzech kolejnych wyrazach takiego ciągu: \ 2b=a+c\ ,
natomiast z faktu,że \ \frac{1}{a},\ \frac{1}{b},\ \frac{1}{a+b+c}\ - wyrazy ciągu geometrycznego i z tw. o trzech kolejnych wyrazach takiego ciągu mamy równanie:
\frac{1}{b^2}=\frac{1}{a}\cdot \frac{1}{a+b+c}\ <=> \ b^2=a(a+b+c)\ . W ten sposób mamy układ równań postaci: \{a+c=2b\\ b^2=a(a+c+B)\ <=> \ \{a+c=2b\\ b^2=a(2b+B)\ <=>
<=> \ \{c=2b-a\\ b^2=a\cdot 3b\ <=> \ \{b=3a\\c=2\cdot3a-a\ <=> \ \{b=3a\\ c=5a\ , zatem szukane wyrazy ciagu arytmetycznego \ (a,b,c)=(a.3a,5a)\ , stąd

\ a_1=a,\ \  r=2a,\ \ a_n=a_1+(n-1)r=a+(n-1)\cdot 2a=a+2na-2a=2na-a=(2n-1)\cdot a\ - n-ty wyraz ciągu
arytmetycznego, czyli mamy wyznaczony ciąg arytmetyczny,
zaś iloraz ciągu geometrycznego to: \ q=\frac{1}{b}\ :\ \frac{1}{a}=\frac{1}{b}\ \cdot \ \frac{a}{1}=\frac{a}{b}=\frac{a}{3a}=\frac{1}{3}\ - szukany iloraz ciągu geometrycznego. ... 8)
  • 0