Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie

Liczba rozwiązań układu równań z parametrem


  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
1 odpowiedź w tym temacie

#1 Nalka

Nalka

    Wymierny

  • Użytkownik
  • 58 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Kobieta

Napisano 22.10.2009 - 14:59

Zbadaj liczbę rozwiązań układu równań: \{ x^2-y^2+a(x+y) = x-y+a\\ x^2 + y^2 +x-1=0 w zależności od parametru a \in R.
  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 Kinia7

Kinia7

    Wielki Analityk

  • ^Przyjaciele
  • 2816 postów
389
Instruktor II
  • Płeć:Kobieta

Napisano 24.12.2016 - 09:42

\{ x^2-y^2+a(x+y) = x-y+a\\ x^2 + y^2 +x-1=0
 (x-y)(x+y)+a(x+y) = (x-y+a)
 (x+y)(x-y+a)- (x-y+a)=0
(x-y+a)(x+y-1)=0 \quad\to\quad \{x-y+a=0\\\ lub\\x+y-1=0    \quad\to\quad \{y=x+a\\\ lub\\y=-x+1
czyli pierwsze równanie przedstawia dwie proste, z których tylko jedna zależy od a
x^2 + y^2 +x-1=0
x^2+x+\fr14-\fr14+y^2-1=0
\(x+\fr12\)^2+y^2=\fr54=\(\fr{\sq5}{2}\)^2
czyli drugie równanie przedstawia okrąg o środku w  \(-\fr12,\,0\)  i promieniu  \fr{\sq5}{2}
wspólne punkty okręgu i "stałej" prostej
\{x^2 + y^2 +x-1=0\\y=-x+1    \quad\to\quad \(0,1\)\ i\ \(\fr12,\fr12\)
wspólne punkty okręgu i "zmiennej" prostej
\{x^2 + y^2 +x-1=0\\y=x+a      \quad\to\quad x^2+(x+a)^2+x-1=0 \quad\to\quad 2x^2+(2a+1)x+a^2-1=0
\Delta=(2a+1)^2-4\cd2(a^2-1)=-4a^2+4a+9
\Delta=0 \quad\to\quad 4a^2-4a-9=0 \quad\to\quad a=\fr{1-\sq{10}}{2}\ \vee\ a=\fr{1+\sq{10}}{2}
ilość pierwiastków  n=\left{\ \begin{array}{lcrcccl} 2 & \ dla\ & & & a & < & \fr{1-\sq{10}}{2}\\ 3 & \ dla\ & & & a & = & \fr{1-\sq{10}}{2} \\ 4 & \ dla\ & \fr{1-\sq{10}}{2} & < & a & < & 0\\ 3 & \ dla\ & & & a & = & 0\\ &: & & & & & \\ 4 & \ dla\ & 0 & < & a & < & 1\\ &: & & & & & \\ 3 & \ dla\ & & & a & = & 1\\ 4 & \ dla\ & 1 & < & a & < & \fr{1+\sq{10}}{2}\\ 3 & \ dla\ & & & a & = & \fr{1+\sq{10}}{2}\\ 2 & \ dla\ &\fr{1+\sq{10}}{2} &< & a & & \end{array}
 

  • 1