Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie

V Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów


  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
12 odpowiedzi w tym temacie

#1 Tomalla

Tomalla

    =-.-= Spatter Guy =-.-=

  • $Jr Admin
  • Redaktor
  • 3211 postów
1037
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 21.11.2009 - 18:39

Zadanie 1.

\{a-b=1\\a+b=c

Na podstawie pierwszego równania stwierdzamy, że a i b różnią się o jeden, czyli jedna z nich musi być podzielna przez 2. Jedyna liczba pierwsza podzielna przez 2 to oczywiście 2, druga liczba to będzie w takim razie 3. Czyli a=3 i b=2. Podstawiając do układu otrzymujemy też, że c=5.

Drugi układ:

\{a-b=c\\a+b=1

Niech ktoś poda dwie liczby pierwsze, których suma jest równa 1 :wave:

Czyli jedyna trójka spełniająca podane równanie to: \re\fbox{(a,b,c)=(3,2,5)}

Zadanie 2.
Weźmy pod uwagę trójkąty ABP i CDP. Niech wysokość trapezu to będzie h, wysokość trójkąta ABP - h_1 ( opuszczona z wierzchołka P ), a wysokość trójkąta CDP h-h_1. Wtedy, suma pól tych trójkątów będzie równa:

\re\fbox{\frac{h}{2}}

Czyli punkt P żeby spełniał podane równanie, musi leżeć na odcinku łączącym środki ramion.

Zadanie 3.

Suma liczb ab oraz cd jest parzysta. Oznacza to, że albo oba składniki są albo nieparzyste, albo parzyste. Jeżeli oba są nieparzyste, to wszystkie liczby a, b, c i d także muszą być nieparzyste ... Skoro ich suma musi być liczbą nieparzystą - dochodzimy do sprzeczności.

Więc wiemy na pewno, że zarówno ab jak i cd są parzyste. Wobec tego, dwie spośród liczb A_3A_{15} i A_2A_7 jako B_1, A_6A_{12} i A_2A_7 jako B_2 i analogicznie następne punkty w tym kierunku to B_3 i B_4.

Kąt środkowy osiemnastokąta to 20 stopni ( 360^{\circ}:18=20^{\circ} ), a kąt wewnętrzny to 160 stopni ( 180^{\circ}-\frac{360^{\circ}}{18}=160^{\circ} ). Kąt A_{16}A_{15}A_3 jest kątem wpisanym ( na wpisanym okręgu oczywiście; wszystkie jego wierzchołki należą do tego okręgu, a jego środek symetrii jest środkiem okręgu ). Miara kąta środkowego opisanego na tym samym łuku jest równa 5\cdot20^{\circ}=100^{\circ}, więc kąt A_{16}A_{15}A_3 ma miarę dwukrotnie mniejszą, czyli 50 stopni. W ten sam sposób obliczamy miarę kąta A_{16}A_{17}A_{10} - wychodzi 60 stopni. Skoro znamy wartość kąta A_{15}A_{16}A_{17} czyli 160 stopni, z łatwością możemy obliczyć miarę kąta A_{15}B_4A_{17}: 360^{\circ}-160^{\circ}-60^{\circ}-50^{\circ}=90^{\circ}\bl

Postępując analogicznie dla pozostałych wierzchołków wychodzi, że powstała figura jest w rzeczywistości prostokątem ( wszystkie jego kąty to 90 stopni ). Jak sprawdzić czy prostokąt jest kwadratem, nie wiem :rolleyes:

Zadanie 5.
Warunek zachodzi, kiedy a^2+a=\frac{p}{q}, gdzie a^2+a i a^3+a będziemy mieli także liczbę wymierną ( np. r/s, z tymi samymi założeniami ). Mamy:

a^2+a+a^3+a=\frac{r}{s}\qquad\Rightarrow\qquad a(a^2+a+2)=\frac{r}{s}\qquad\Rightarrow\qquad a(\frac{p}{q}+2)=\frac{r}{s}\qquad\Rightarrow\qquad a=\frac{\frac{r}{s}}{\frac{p}{q}+2}.

Skoro zmienne r, s, p i q są liczbami wymiernymi, cały ten iloraz jest liczbą wymierną, a co za tym idzie - także liczba a.

Czekam na komentarze :) Tomalla
  • 0
________
Nie rozwiązuję zadań poprzez PMy!
Nie zaśmiecać mi skrzynki odbiorczej wiadomościami typu "pomóż mi w następnym zadaniu" etc.
Tego typu wiadomości będę po prostu ignorował i od razu usuwał.


=-.-= ToMaLlA - General Modder in games with QuaKe 3 and DooM III EnGiNes =-.-=

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 Ereinion

Ereinion

    Mega Rozkminiacz z Marsa

  • $Jr Admin
  • 2104 postów
1007
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 21.11.2009 - 20:03

Zadania 1,2,3 są zrobione ładnie, komentarza nie wymagają :rolleyes:

Siódme też ładnie, tylko wypadałoby tam zaakcentować że 80^o wokół punktu O. Skoro A_{10}A_{7} to odległość między nimi a A_{10}X to odległość między prostymi zielonymi i widać że 2. Pomyśl jeszcze nad uzasadnieniem :wave:

Załączone miniatury

  • 18_k_t.JPG

  • 0

#3 Tomalla

Tomalla

    =-.-= Spatter Guy =-.-=

  • $Jr Admin
  • Redaktor
  • 3211 postów
1037
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 21.11.2009 - 22:36

W 5 nadal nie rozumiem :rolleyes: Czy teza zachodzi, kiedy wszystkie wierzchołki mają jedną z liczb 3, 4 lub 5? Nie ... Chyba że jest jakiś konkretny sposób w jaki te liczby są przypisywane. Są one kolejne, czy co?

W 6. to ja bym powiedział tak: płaszczyzna jest prostopadła do podstawy czworościanu i równoległy do jednej z krawędzi podstawy. O ile nie przechodzi przez wierzchołek na szczycie czworościanu, przekrojem jest prostokąt. Kiedy zbliżamy tą płaszczyznę do tej krawędzi, wysokość tego prostokąta dąży ku zeru ... natomiast jego szerokość jest taka sama. Dlatego powiedziałem że odpowiedzią jest 2 ( dwie krawędzie prostokąta o długości krawędzi, czyli 1 ).
  • 0
________
Nie rozwiązuję zadań poprzez PMy!
Nie zaśmiecać mi skrzynki odbiorczej wiadomościami typu "pomóż mi w następnym zadaniu" etc.
Tego typu wiadomości będę po prostu ignorował i od razu usuwał.


=-.-= ToMaLlA - General Modder in games with QuaKe 3 and DooM III EnGiNes =-.-=

#4 Ereinion

Ereinion

    Mega Rozkminiacz z Marsa

  • $Jr Admin
  • 2104 postów
1007
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 21.11.2009 - 22:53

W 5 nadal nie rozumiem :rolleyes: Czy teza zachodzi, kiedy wszystkie wierzchołki mają jedną z liczb 3, 4 lub 5?

5 to być nie może, ale jakbyś już same 3 i 4 przyporządkowywał to teza zachodzi (bo gdyby dwie trójki albo dwie czwórki były koło siebie to teza oczywiście zachodzi, więc umieszczajmy je na przemian, jako że mamy nieparzystą liczbę wierzchołków to nie da się tego zrobić, bo zawsze przy którychś dwóch wierzchołkach wyjdą te same liczby :wave: )

W 6. to ja bym powiedział tak: płaszczyzna jest prostopadła do podstawy czworościanu i równoległy do jednej z krawędzi podstawy.

tak wcale nie musi być :)
  • 0

#5 Tomalla

Tomalla

    =-.-= Spatter Guy =-.-=

  • $Jr Admin
  • Redaktor
  • 3211 postów
1037
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 21.11.2009 - 23:03

... czyli w piątym badamy reszty kwadratowe, tak? Jedyne reszty kwadratowe modulo 5 to 0, 1 lub -1 ( 0 oczywiście odpada ). Wobec tego różnica ich kwadratów zawsze będzie wynosiła 0.

Co do szóstego to pasuję :rolleyes:
  • 0
________
Nie rozwiązuję zadań poprzez PMy!
Nie zaśmiecać mi skrzynki odbiorczej wiadomościami typu "pomóż mi w następnym zadaniu" etc.
Tego typu wiadomości będę po prostu ignorował i od razu usuwał.


=-.-= ToMaLlA - General Modder in games with QuaKe 3 and DooM III EnGiNes =-.-=

#6 Ereinion

Ereinion

    Mega Rozkminiacz z Marsa

  • $Jr Admin
  • 2104 postów
1007
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 21.11.2009 - 23:22

... czyli w piątym badamy reszty kwadratowe, tak? Jedyne reszty kwadratowe modulo 5 to 0, 1 lub -1 ( 0 oczywiście odpada ). Wobec tego różnica ich kwadratów zawsze będzie wynosiła 0.

tak jak napisałeś to by było gdybyśmy badali różnicę ABCD. Płaszczyzna tego przekroju przecina dokładnie 4 krawędzie tego czworościanu. Pozostałe dwie oraz jedną z tych czterech rozetnijmy i ułóżmy siatkę jak na rysunku: (trochę niefortunnych oznaczeń użyłem, powinno być A oraz jakieś A' ale już mi się nie chce zmieniać)
stereo.JPG

Oczywiście AB+BC+CD+DA' \geq AA'=2 i obwód równy 2 jest osiągalny (np. gdy połączymy środki pewnych czterech krawędzi). A to kończy rozwiązanie zadania :rolleyes:
  • 0

#7 Tomalla

Tomalla

    =-.-= Spatter Guy =-.-=

  • $Jr Admin
  • Redaktor
  • 3211 postów
1037
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 22.11.2009 - 11:00

a^4-b^4? W zadaniu jest a^2-b^2. Poza tym, jak a^2\equiv -1? 1 i -1 podniesione do kwadratu zawsze dadzą 1.
  • 0
________
Nie rozwiązuję zadań poprzez PMy!
Nie zaśmiecać mi skrzynki odbiorczej wiadomościami typu "pomóż mi w następnym zadaniu" etc.
Tego typu wiadomości będę po prostu ignorował i od razu usuwał.


=-.-= ToMaLlA - General Modder in games with QuaKe 3 and DooM III EnGiNes =-.-=

#8 Ereinion

Ereinion

    Mega Rozkminiacz z Marsa

  • $Jr Admin
  • 2104 postów
1007
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 22.11.2009 - 14:41

Poza tym, jak a^2\equiv -1?

np 2^2 = 4 \equiv -1 \ \ \ \ \ (mod \ 5) :rolleyes:
  • 0

#9 Tomalla

Tomalla

    =-.-= Spatter Guy =-.-=

  • $Jr Admin
  • Redaktor
  • 3211 postów
1037
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 22.11.2009 - 15:40

:wave: Dobra, dopiero teraz zauważyłem że gadałem głupoty. Ale jakoś nadal nie rozumiem tego zadania. W zadaniu jest napisane: "Wykaż, że istnieją takie dwie liczby a i b", no i wykazałem ze istnieją: kiedy a\equiv b(mod\ 5). Ty natomiast powiedziałeś: "tam liczby mamy już napisane i mi nie wybieramy ich sobie, tylko mamy pokazać, że teza zachodzi przy dowolnych liczbach, które są przypisane tym wierzchołkom". Ta teza nie zachodzi dla dowolnych liczb, bo na przykład dla 2 i 4 już nie zachodzi. :rolleyes: Znowu coś mi umknęło?
  • 0
________
Nie rozwiązuję zadań poprzez PMy!
Nie zaśmiecać mi skrzynki odbiorczej wiadomościami typu "pomóż mi w następnym zadaniu" etc.
Tego typu wiadomości będę po prostu ignorował i od razu usuwał.


=-.-= ToMaLlA - General Modder in games with QuaKe 3 and DooM III EnGiNes =-.-=

#10 Ereinion

Ereinion

    Mega Rozkminiacz z Marsa

  • $Jr Admin
  • 2104 postów
1007
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 22.11.2009 - 15:49

Generalnie to jest tak:
Przychodzi jakiś Zenek, rysuje sobie 55-kąt foremny i przy każdym wierzchołku pisze jakąś liczbę całkowitą, która nie dzieli się przez 5. My nie wiemy nic więcej o tych liczbach i nic sobie dodatkowego o nich na wstępie zakładać nie możemy. Naszym zadaniem jest pokazać, że niezależnie od tego co tam Zenek powpisywał to istnieją takie dwa kolejne wierzchołki tego 55-kąta foremnego, że jeżeli liczbę przypisaną jednemu z nich nazwiemy a , a liczbę przypisaną drugiemu nazwiemy b, to wtedy 5|a^2 - b^2 . Oczywiście takich par kolejnych wierzchołków może być więcej, ale mamy pokazać, że zawsze jest co najmniej jedna .
  • 0

#11 Tomalla

Tomalla

    =-.-= Spatter Guy =-.-=

  • $Jr Admin
  • Redaktor
  • 3211 postów
1037
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 23.11.2009 - 14:29

No dobra, wreszcie załapałem ;) Powiedzmy, że jest 55 tych cyfr. Skoro jednak mówimy o podzielności przez 5, będę mówił o ich modulo 5. Czyli, jedyne możliwe liczby które można wpisać przy wierzchołku, to: \pm1 i \pm2. Skoro zarówno (\pm1)^2-(\pm1)^2\equiv0 jak i \pm1 i \pm2. W takim razie mamy taką kolejność:

\pm1,\ \pm2, \ \pm1, \ \pm2 \dots

Skoro jest nieparzysta liczba liczb ( :) ) to na końcu i na początku znajdą się liczby o tej samej wartości bezwględnej ( albo 1 i -1, albo 2 i -2 ), więc teza będzie dla nich spełniona.

:)
  • 0
________
Nie rozwiązuję zadań poprzez PMy!
Nie zaśmiecać mi skrzynki odbiorczej wiadomościami typu "pomóż mi w następnym zadaniu" etc.
Tego typu wiadomości będę po prostu ignorował i od razu usuwał.


=-.-= ToMaLlA - General Modder in games with QuaKe 3 and DooM III EnGiNes =-.-=

#12 Ereinion

Ereinion

    Mega Rozkminiacz z Marsa

  • $Jr Admin
  • 2104 postów
1007
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 23.11.2009 - 18:30

O, no i fajnie ;) to już mamy wszystkie rozwiązane, jak pojawią się zadania z II etapu (z reguły trochę łatwiejsze są) to zamieszczę w nowym temacie i jedziemy :)
  • 0





Tematy podobne do: V Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów     x