Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie

Udowodnij obliczalność całki


  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
3 odpowiedzi w tym temacie

#1 sopi

sopi

    Nowicjusz

  • Użytkownik
  • 1 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 15.06.2009 - 12:34

Witam,
mam za zadanie na zaliczenie udowodnić obliczalność całki, jednak nie wiem jak się za to zabrać, jak spojrzałem na wynik na http://integrals.wol...mp;random=false to jeszcze bardziej zwątpiłem,

\int \arcsin(\tan)
  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 4145 postów
3395
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 25.07.2019 - 22:27

\int arcsin(t(x))dx

 

sec^2(x)=tg^2(x)+1 więc

 

\int arcsin(t(x))dx=\int \frac{sec^2(x)\cdot arcsin(tg(x)) }{tg^2(x)+1}dx

 

i podstawienie         w=tg(x)     dw=sec^2(x)dx   stąd    dx=\frac{1}{sec^2(x)}dw

 

\int \frac{sec^2(x)\cdot arcsin(tg(x)) }{tg^2(x)+1}dx=\int \frac{arcsin(w)}{w^2+1}dw=\int \frac{arcsin(w)}{(w-i)(w+i)}dw

 

Rozkład na ułamki i zaczynają się czary:

 

={\displaystyle\int}\left(\dfrac{\mathrm{i}\arcsin\left(w\right)}{2\left(w+\mathrm{i}\right)}-\dfrac{\mathrm{i}\arcsin\left(w\right)}{2\left(w-\mathrm{i}\right)}\right)\mathrm{d}w

 

{\dfrac{\mathrm{i}}{2}}{\displaystyle\int}\dfrac{\arcsin\left(w\right)}{w+\mathrm{i}}\,\mathrm{d}w-{\dfrac{\mathrm{i}}{2}}{\displaystyle\int}\dfrac{\arcsin\left(w\right)}{w-\mathrm{i}}\,\mathrm{d}w

 

cdn.


  • 1

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#3 janusz

janusz

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • 3130 postów
1450
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 26.07.2019 - 21:27

 f(x) = \arcsin(tgx) = \int_{0}^{tgx} \frac{1}{\sqrt{1-t^2}}dt

 

 f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - tg^2 x}}\frac{1}{\cos^2x} = \frac{1}{cos(x)\sqrt{cos(2x)}}

 

 \int f(x) dx = \int \int_{0}^{x} \frac{1}{\cos t \sqrt{cos(2t)}} dt = \int \int_{0}^{x}\frac{1}{\cos(t)\sqrt{2\cos^2 t -1}}dt =...


  • 2

#4 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 4145 postów
3395
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 05.08.2019 - 07:00

\int\dfrac{\arcsin\left(w\right)}{w+\mathrm{i}}\,\mathrm{d}w

 

Może zaczniemy od podstawienia w+i=v   dw=dv

 

i następnie podstawienie o=arcsin(v-i)              do=\frac{1}{\sqrt{1-(v-i)^2}}dv        dv=\sqrt{1-(v-i)^2}do

 

i teraz sin^2(v)+cos^2(v)=1     v=sin(o)+i           czyli

 

\frac{1}{\sqrt{1-(v-i)^2}}=cos(o)           oraz         \frac{1}{v}=\frac{1}{sin(o)+i}

 

\int\dfrac{\arcsin\left(w\right)}{w+\mathrm{i}}\,\mathrm{d}w=\int \frac{arcsin(v-i)}{v}dv=\int \frac{o\cdot cos(o)}{sin(o)+i}do


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 05.08.2019 - 07:26

  • 0

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską