Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie

podobieństwa trójkątów - oblicz długości boków trójkąta

twierdzenie Pitagorasa

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
14 odpowiedzi w tym temacie

#1 Susanna

Susanna

    Przeliczalny

  • Użytkownik
  • 36 postów
2
Neutralny
  • Płeć:Kobieta

Napisano 18.05.2009 - 16:23

Obwód trójkąta prostokątnego wynosi 60 cm, a wysokosc poprowadzona do przeciwprostokątnej ma
długośc 12 cm. Oblicz długości boków tego trójkąta.

Wskazówka:Trzeba skorzystać z twierdzenia Pitagorasa i podobieństwa trójkątów.
  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 tadpod

tadpod

    Wielki Analityk

  • $Jr Admin
  • 7153 postów
3155
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 18.05.2009 - 19:37

Obwód trójkąta prostokątnego wynosi 60 cm, a wysokość poprowadzona do przeciwprostokątnej ma
długość 12 cm. Oblicz długości boków tego trójkąta.

otóż, z treści zadania
jeśli ^{*R}
  • 0

#3 Tomalla

Tomalla

    =-.-= Spatter Guy =-.-=

  • $Jr Admin
  • Redaktor
  • 3211 postów
1037
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 18.05.2009 - 20:11

Wklepałem sobie ten układ do mojego "kalkulatorka" i, wywalając rozwiązania ujemne, wychodzi że:

\{x=20\\y=15

( lub na odwrót ). W każdym razie, trochę zbyt skomplikowany ten układ, i rzeczywiście ... trochę brzydki :o Spróbuję jeszcze coś tutaj wymyśleć, może coś mi wpadnie do głowy ... ?

Pozdrawiam

====================

W Wikipedii znalazłem coś takiego, że wysokość opuszczona z kąta prostego dana jest wzorem:

h=\frac{ab}{c}, a gdzie a, b to przyprostokątne, a c to przeciwprostokątna. Niestety, nie wiem jak się ten wzór wyprowadza ;/ Czyli mamy tak naprawdę układ:

\{12=\frac{xy}{60-x-y}\\x^2+y^2=(60-x-y)^2

Ten układ jest chyba trochę łatwiejszy do rozwiązania. Trzeba zacząć od uproszczenia drugiego równania, wtedy te kwadraty się skrócą.
  • 0
________
Nie rozwiązuję zadań poprzez PMy!
Nie zaśmiecać mi skrzynki odbiorczej wiadomościami typu "pomóż mi w następnym zadaniu" etc.
Tego typu wiadomości będę po prostu ignorował i od razu usuwał.


=-.-= ToMaLlA - General Modder in games with QuaKe 3 and DooM III EnGiNes =-.-=

#4 tadpod

tadpod

    Wielki Analityk

  • $Jr Admin
  • 7153 postów
3155
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 18.05.2009 - 20:27

witam, jednak piękny wynik "mojego" układu; dziękuję ci za zainteresowanie , wiedziałem, że na ciebie mogę liczyć( masz + sa ); wszystko
o czym mówisz to jak mi się wydaje na pierwszy rzut oka ... to samo co u mnie (choć mogę się mylić), kurcze dlaczego "delta" ostatniego
(czerwonego) mojego równania jest niewymierna, a ten wzór na h to właśnie ja stosuję,a dowód natychmiastowy z porównania wzorów
równoważnych na pole trójkąta prostokątnego przy standardowych oznaczeniach \ \frac{1}{2}ch=\frac{1}{2}ab, . ... :o
  • 0

#5 Tomalla

Tomalla

    =-.-= Spatter Guy =-.-=

  • $Jr Admin
  • Redaktor
  • 3211 postów
1037
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 18.05.2009 - 20:43

Bez komentarza ... zawsze, kiedy wyprowadzenie tych wzorów jest zbyt proste, to nie daję sobie z nimi rady :x Dzięki tadpod ...
  • 0
________
Nie rozwiązuję zadań poprzez PMy!
Nie zaśmiecać mi skrzynki odbiorczej wiadomościami typu "pomóż mi w następnym zadaniu" etc.
Tego typu wiadomości będę po prostu ignorował i od razu usuwał.


=-.-= ToMaLlA - General Modder in games with QuaKe 3 and DooM III EnGiNes =-.-=

#6 Ereinion

Ereinion

    Mega Rozkminiacz z Marsa

  • $Jr Admin
  • 2104 postów
1008
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 18.05.2009 - 21:48

jeszcze alternatywnie:

mamy w trójkącie prostokątnym:

\frac{1}{r}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{h} oraz

r=\frac{a+b-c}{2} czyli

\frac{1}{30-c}=\frac{60-c}{ab}+\frac{1}{12}

ale ab=12c czyli

\frac{12c}{30-c}=(60-c)+c

c=25

dalej już łatwo :o
  • 0

#7 Tomalla

Tomalla

    =-.-= Spatter Guy =-.-=

  • $Jr Admin
  • Redaktor
  • 3211 postów
1037
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 18.05.2009 - 22:55

Skąd masz równość:

\frac{1}{r}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{h}

?
  • 0
________
Nie rozwiązuję zadań poprzez PMy!
Nie zaśmiecać mi skrzynki odbiorczej wiadomościami typu "pomóż mi w następnym zadaniu" etc.
Tego typu wiadomości będę po prostu ignorował i od razu usuwał.


=-.-= ToMaLlA - General Modder in games with QuaKe 3 and DooM III EnGiNes =-.-=

#8 Ereinion

Ereinion

    Mega Rozkminiacz z Marsa

  • $Jr Admin
  • 2104 postów
1008
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 19.05.2009 - 17:27

kiedyś jak mi się nudziło to sobie szukałem fajnych związków w trójkącie, dla dowodu wystarczy wymnożyć i coś tam poredukować :o
  • 0

#9 tadpod

tadpod

    Wielki Analityk

  • $Jr Admin
  • 7153 postów
3155
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 02.06.2009 - 17:20

[quote name='Tomalla' post='41498' date='18.05.2009, 23:56']Skąd masz równość: ^{*R}
  • 0

#10 Ereinion

Ereinion

    Mega Rozkminiacz z Marsa

  • $Jr Admin
  • 2104 postów
1008
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 02.06.2009 - 17:58

nie ma sprawy, bardzo przyjemny jest Twój dowód :) niech kolejną inspiracją będzie taka sympatyczna, prawdziwa dla dowolnego trójkąta tożsamość
ab+bc+ca=r^2 + p^2+4Rr
;)
  • 0

#11 tadpod

tadpod

    Wielki Analityk

  • $Jr Admin
  • 7153 postów
3155
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 04.06.2009 - 12:09

[quote name='Ereinion' post='42708' date='2.06.2009, 18:59'];) ... sympatyczna, prawdziwa dla dowolnego trójkąta tożsamość {*R}

hmm, ... :) analogicznie może ktoś spróbować sobie wykazać, że dla dowolnego trójkąta \ \bl a^2+b^2+c^2=2p^2-2r^2-8R\cdot r .
  • 0

#12 Ereinion

Ereinion

    Mega Rozkminiacz z Marsa

  • $Jr Admin
  • 2104 postów
1008
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 04.06.2009 - 17:43

[quote name='tadpod' post='42868' date='4.06.2009, 13:10']analogicznie może ktoś spróbować sobie wykazać, że dla dowolnego trójkąta a^2+b^2+c^2=4p^2-2(ab+bc+ba) co korzystając z poprzedniej tożsamości kończy zabawę :rolleyes:

a ja od siebie proponuje (h_a+h_b)(h_b+h_c)(h_c+h_a)=S\cdot \frac{p^3 + S(r+2R)}{R^2} :wave:
  • 0

#13 tadpod

tadpod

    Wielki Analityk

  • $Jr Admin
  • 7153 postów
3155
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 15.06.2009 - 18:55

...hmm, dzięki, nie wiem dlaczego, ale teraz idzie jak po maśle :D , mianowicie korzystam z wzorów w postach ... :) powyżej, a wtedy

S=pr\ \bl \Leftrightarrow \ S=\frac{1}{2}(a+b+c) r   /:Sr \ \bl \Leftrightarrow \ \frac{1}{r}=\frac{a+b+c}{2S} \ \bl \Leftrightarrow \ \frac{1}{r}=\frac{a}{2S}+\frac{b}{2S}+\frac{c}{2S}\ \bl \Leftrightarrow \ \frac{1}{r}=\frac{a}{ah_a}+\frac{b}{bh_b}+\frac{c}{ch_c}\ \bl \Leftrightarrow \ \fbox{\re \frac{1}{r}=\frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c}} . ... :huh: ^{*R}
  • 0

#14 Ereinion

Ereinion

    Mega Rozkminiacz z Marsa

  • $Jr Admin
  • 2104 postów
1008
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 15.06.2009 - 19:27

tak jest, bardzo ładne oba dowodziki :)
teraz może być trochę trudniej:

oznaczmy r_a,\ r_b,\ r_c - promienie okręgów dopisanych odpowiednio do boków a,b,c
wtedy:

\frac{1}{r_a} + \frac{1}{r_b} + \frac{1}{r_c}=\frac{1}{r}

oraz

r_a \cdot r_b \cdot r_c \cdot r = S^2

:huh:
  • 0

#15 tadpod

tadpod

    Wielki Analityk

  • $Jr Admin
  • 7153 postów
3155
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 16.06.2009 - 19:46

[quote name='Ereinion' post='43416' date='15.06.2009, 20:28']teraz może być trochę trudniej:oznaczmy \frac{r}{r_A}+\frac{r}{r_B}+\frac{r}{r_C}=\frac{p-a+p-b+p-c}{p} \frac{r}{r_A}+\frac{r}{r_B}+\frac{r}{r_C}=\frac{3p-(a+b+c)}{p}\frac{r}{r_A}+\frac{r}{r_B}+\frac{r}{r_C}=\frac{3p-2p}{p} ^{*R}
  • 0


Wróć do Planimetria i przekształcenia geometryczne