Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
        STUDIA        

całka z pierwiastkiem

rachunek całkowy

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
5 odpowiedzi w tym temacie

#1 timon

timon

    Wielki Analityk

  • VIP
  • 982 postów
7
Mały Pomocnik I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 08.05.2009 - 21:08

\int sqrt{4-x^2}dx

nie wychodzi mi wynik, trzeba tu wogóle stosowac podstawienie Eulera??
  • 0
"Chwałą Pana jest człowiek żyjący w pełni"

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 niki87

niki87

    zła i wredna :)

  • $Jr Admin
  • Redaktor
  • 5953 postów
1512
Starszy Wykładowca II
  • Płeć:Kobieta

Napisano 08.05.2009 - 21:17

nie trzeba... wystarczy prosty "chwyt"

\int \sqrt{4-x^2}dx=\int \frac{4-x^2}{\sqrt{4-x^2}}=\int \frac{4dx}{\sqrt{4-x^2}}-\int \frac{x^2}{\sqrt{4-x^2}}dx=4\int \frac{dx}{\sqrt{4-x^2}}-\int x\cdot \frac{xdx}{\sqrt{4-x^2}}=\left[\begin{array}{ccc}u=x&du=1\\dv=\frac{x}{\sqrt{4-x^2}}&v=-\sqrt{4-x^2}\end{array}\right]=4\int \frac{dx}{\sqrt{4-x^2}}+x\sqrt{4-x^2}-\int \sqrt{4-x^2}dx

stąd:
\int \sqrt{4-x^2}=2\int \frac{dx}{\sqrt{4-x^2}}+\frac{x}{2}\sqrt{4-x^2}=2arcsin\frac{x}{2}+\frac{x}{2}\sqrt{4-x^2}+C

uffff.....
  • 0

MimeTex
Regulamin
Klikając Posted Image mówisz DZIĘKUJĘ


#3 Tomalla

Tomalla

    =-.-= Spatter Guy =-.-=

  • $Jr Admin
  • Redaktor
  • 3211 postów
1037
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 08.05.2009 - 21:29

W tym wypadku nie, bo współczynnik przy x^2 jest ujemny. Można to rozwiązać na dwa sposoby; ja wybrałem metodę całek stowarzyszonych:

\int\frac{x^2}{\sqrt{4-x^2}}dx jako I_2.

Teraz, obliczmy tą pierwszą całkę:

\int\frac{dx}{\sqrt{4-x^2}}\qquad = \qquad \[x=2t\\dx=2\ dt\]\qquad = \qquad 2\int\frac{dt}{\sqrt{4-4t^2}}\qquad = \qquad \int\frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}\qquad = \qquad arcsin\ \frac{x}{2}+C

... czyli:

\int\sqrt{4-x^2}dx\qquad = \qquad 4 arcsin\ \frac{x}{2}-I_2\bl

Teraz, obliczmy tą samą całkę, tyle że przez części:

\int\sqrt{4-x^2}dx\bl\qquad = \qquad \[u'=1\qquad u=x\\ v=\sqrt{4-x^2}\qquad v'=-\frac{x}{\sqrt{4-x^{2}}}\]\qquad = \qquad x\sqrt{4-x^2}-\int x\cdot \frac{-x}{\sqrt{4-x^2}}dx\qquad = \qquad\bl x\sqrt{4-x^2}+ I_2

Poprzez dodanie powyższych równości ( zaznaczonych na niebiesko ), będziemy mogli obliczyć naszą całkę ;) :

2\int\sqrt{4-x^2}dx=4\ arcsin\frac{x}{2}+x\sqrt{4-x^2}\qquad\Rightarrow\qquad \re \int\sqrt{4-x^2}dx=2\ arcsin\frac{x}{2}+\frac{x}{2}\sqrt{4-x^2}+C

Pozdrawiam, Tomalla ;)
  • 0
________
Nie rozwiązuję zadań poprzez PMy!
Nie zaśmiecać mi skrzynki odbiorczej wiadomościami typu "pomóż mi w następnym zadaniu" etc.
Tego typu wiadomości będę po prostu ignorował i od razu usuwał.


=-.-= ToMaLlA - General Modder in games with QuaKe 3 and DooM III EnGiNes =-.-=

#4 timon

timon

    Wielki Analityk

  • VIP
  • 982 postów
7
Mały Pomocnik I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 08.05.2009 - 21:39

Genialnie, w życiu bym na to nie wpadł , rozkminiałem to ze 20 min. Dzięki wielkie.
  • 0
"Chwałą Pana jest człowiek żyjący w pełni"

#5 Tomalla

Tomalla

    =-.-= Spatter Guy =-.-=

  • $Jr Admin
  • Redaktor
  • 3211 postów
1037
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 08.05.2009 - 21:48

Wszystkie takie standardowe przykłady są doskonale opisane w książce "Analiza matematyczna w zadaniach", tom pierwszy. Autorzy to: W. Krysicki oraz L. Włodarski. Wtedy, wszystkie Twoje wątpliwości znikną ;) - doskonała książka. Warto kupić ;)
  • 0
________
Nie rozwiązuję zadań poprzez PMy!
Nie zaśmiecać mi skrzynki odbiorczej wiadomościami typu "pomóż mi w następnym zadaniu" etc.
Tego typu wiadomości będę po prostu ignorował i od razu usuwał.


=-.-= ToMaLlA - General Modder in games with QuaKe 3 and DooM III EnGiNes =-.-=

#6 timon

timon

    Wielki Analityk

  • VIP
  • 982 postów
7
Mały Pomocnik I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 08.05.2009 - 21:54

Mam tą książkę na kompie. Skoro mówisz, że dobra jest to przejrzę sobie ją na pewno.
  • 0
"Chwałą Pana jest człowiek żyjący w pełni"