Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie

Prawa działań na Logarytmach


  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
1 odpowiedź w tym temacie

#1 Glocc

Glocc

    Druga pochodna

  • Użytkownik
  • 118 postów
1
Neutralny

Napisano 15.04.2009 - 17:40

Potrzebuje pilnie!! udowodnienia wszystkich praw działań na logarytmach.
  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3636 postów
3142
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 10.07.2019 - 18:16

Z definicji logarytmu mamy

 

\log_a a=1 bo a^1=a

\log_a (a^b)=b bo a^b=(a^b) :)

 

1) \log_a (x\cdot y)=\log_a x+\log_a y

 

Niech \log_a x=A oraz \log_a y=B   czyli z definicji         a^A=x     a^B=y

 

\log_a(x\cdot y)=log_a(a^A\cdot a^B)=\log_a\(a^{A+B}\)=A+B=\log_a x+\log_a y

 

2) \log_b (\frac{x}{y})=\log_b x-\log_b y

 

Niech \log_b x=A oraz \log_b y=B   czyli z definicji         b^A=x     b^B=y

 

\log_b (\frac{x}{y})=\log_b \(\frac{b^A}{b^B}\)=\log_b (b^{A-B})=A-B=\log_b x-\log_b y

 

3) \log_c(x^y)=y\cdot \log_c x

 

 Niech \log_c x=A      czyli       c^A=x

 

\log_c(x^y)=\log_c((c^A)^y)=\log_c(c^{A\cdot y})=A\cdot y=\log_c x\cdot y=y\cdot \log_c x

 

lub inaczej wykorzystując wzór na logarytm iloczynu

 

\log_c(x^y)=\log_c(x\cdot x \cdot x\cdots x)=\log_c x +\log_c x +\log_c x +\cdots +\log_c x =y\cdot \log_c x

 

4) \log_a b= \frac{1}{log_b a}

 

\log_a b = x czyli  a^x = b

 

\log_b a = y czyli  b^y = a

 

\log_a b \cdot log_b a = xy

 

z powyższego a^x b^y=ab

 

zatem

 

x=y=1 \Rightarrow xy=1 \\ log_a b \cdot log_b a = xy=1

 

log_a b = \frac{1}{log_b a}

 

5)\log_a b = \frac{log_c b}{log_c a}

 

a,b,c \in R _{+}, a,b,c \neq 1

 

log _{c}b =log _{c}a ^{log _{a}b}=log _{a}b \cdot log _{c}a

 

i teraz dzieląc obustronnie przez log _{c}a

 

log _{a}b= \frac{log _{c}b }{log _{c}a}

 

a gdy b=c mamy dowód 4)


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 10.07.2019 - 18:19

  • 1

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską