Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie

równanie logarytmiczne z parametrem


  • Zamknięty Temat jest zamknięty
6 odpowiedzi w tym temacie

#1 Jamnowaczek89

Jamnowaczek89

    Wielki Analityk

  • VIP
  • 1107 postów
193
Pomocnik II
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 11.02.2008 - 14:33

Dla jakich wartości parametru m równanie:

(2log_{\frac{1}{2}}m-1)x^2-2x+log_{\frac{1}{2}}m=0

ma co najmniej jeden pierwiastek rzeczywisty.



tutaj jedyne co przychodzi mi na myśl to


(2log_{\frac{1}{2}}m-1)x^2-2x+log_{\frac{1}{2}}m=0 <=> 2x^2log_{\frac{1}{2}}m-x^2-2x+log_{\frac{1}{2}}m=0<=> 2x^2log_{\frac{1}{2}}m+log_{\frac{1}{2}}m=x^2+2x <=> log_{\frac{1}{2}}m(2x^2+1)=x^2+2x<=> log_{\frac{1}{2}}m=\frac{x^2+2x}{(2x^2+1)}

i nie wiem, czy mam to rozwiązać graficznie rysując wykresy, czy w jakiś inny sposób...
  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 tadpod

tadpod

    Wielki Analityk

  • $Jr Admin
  • 7153 postów
3154
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 11.02.2008 - 16:58

Dla jakich wartości parametru m równanie: (2log_{\frac{1}{2}}m-1)x^2-2x+log_{\frac{1}{2}}m=0 ma co najmniej jeden pierwiastek rzeczywisty.

otóż, jest to równanie zmiennej x z parametrem m, i może być ono liniowe lub kwadratowe , dlatego dane równanie moż mieć 1 słownie (jeden), lub 1( jeden podwójny) lub
2 (różne co do wartości), czyli co najmniej jeden pierwiastek
wtedy i tylko wtedy, gdy jest liniowe, czyli współczynnik \ a=0\ , czyli \ 2log_{\frac{1}{2}}m-1=0\  \wedge  \ m >0\ - (m>0 wzięło się z definicji logarytmu)<=> log_{\frac{1}{2}}m=\frac{1}{2}\ \wedge \ m>0\ <=>
\ m=\frac{1}{\sqrt 2}\ \wedge \ m>0\ <=>\ m=\frac{\sqrt 2}{2}\ , a wtedy mamy równanie liniowe -2x+log_{\frac{1}{2}}m=0\ <=> \ 2x=log_{\frac{1}{2}}{(\frac {1}{2})^{\frac{1}{2}}\ <=>\ 2x=\frac{1}{2}\ <=>\  x=\frac{1}{4}\ - jeden pierwiastek R,
ale na tym nie koniec , bo 1 lub 2 pierwiastki mogą jeszcze być , gdy dane równanie jest kwadratowe, czyli gdy:\{ a\neq0\\ \Delta \geq 0\ .
Teraz rozwiąż tę koniunkcję (układ ) warunków i to będzie wszystko.No to tak: \{ a\neq0\\ \Delta \geq 0\ =>\{ m\neq \frac{\sqrt 2}{2}\\ b^2-4ac\geq0\ => \{ m\neq \frac{\sqrt 2}{2}\\ 4-4(2log_{\frac{1}{2}}m-1)\cdot log_{\frac{1}{2}}m\geq0\ \  =>\ \  1-2log^{2}_{\frac{1}{2}}m +log_{\frac{1}{2}}m\geq0\ \  =>\ \  2log^{2}_{\frac{1}{2}}m -log_{\frac{1}{2}}m-1\leq0\
  • 0

#3 Jamnowaczek89

Jamnowaczek89

    Wielki Analityk

  • VIP
  • 1107 postów
193
Pomocnik II
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 12.02.2008 - 01:18

próbowałem nieco się z tym uporać, ale niestety nic mi nie wychodzi więc proszę o pomoc z tym równaniem kwadratowym

W porządku, ale po później dobrze?
  • 0

#4 Matofil

Matofil

    Pierwsza pochodna

  • VIP
  • 98 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 12.02.2008 - 18:16

Niewiadomą jest tutaj x, a parametrem m
Musimy rozważyć 2 przypadki (m>0 bo pod logarytmem):
1. Równanie liniowe - gdy współczynnik przy x^2 ( czyli a) jest równy 0
t=log_{\frac{1}{2}}m I nasze równanie przyjmuje postać:
m dostajemy dwie nierówności:
m=\frac{\sqrt{2}}{2} wylatuje przez warunek a \neq 0, ale wleciało w przypadku 1, zatem podajemy odpowiedź:
m \in (0,\frac{1}{2}\] \cup \[\sqrt{2},\infty)
  • 0
"It is so hard to believe, that all this is the way that it has to be."
It's five o'clock - Aphrodite's Child

Prawdopodobieństwo może być co najwyżej równe 1!

#5 Jamnowaczek89

Jamnowaczek89

    Wielki Analityk

  • VIP
  • 1107 postów
193
Pomocnik II
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 12.02.2008 - 18:33

Niewiadomą jest tutaj x, a parametrem m
Musimy rozważyć 2 przypadki (m>0 bo pod logarytmem):
1. Równanie liniowe - gdy współczynnik przy x^2 ( czyli a) jest równy 0
t=log_{\frac{1}{2}}m I nasze równanie przyjmuje postać:
m dostajemy dwie nierówności:
m=\frac{\sqrt{2}}{2} wylatuje przez warunek a \neq 0, ale wleciało w przypadku 1, zatem podajemy odpowiedź:
m \in (0,\frac{1}{2}\] \cup \[\sqrt{2},\infty)


ok wielkie dzięki, ale co do t to wychodzi:

{-\frac{1}{2}}\leq t \leq 1

więc wyjdzie mi raczej

m\in <\frac{1}{2};\sqrt{2}>

ale i tak dzięki
  • 0

#6 Matofil

Matofil

    Pierwsza pochodna

  • VIP
  • 98 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 12.02.2008 - 18:37

Tak, masz rację :oops: Przy takiej pisaninie łatwo się rąbnąć :P
Musisz więc pozmieniać kierunki dziubka w ostatnich nierównościach i założyć, że obie nierówności zachodzą jednocześnie.
Wyjdzie tak jak napisałeś:
m \in [\frac{1}{2},\sqrt{2}]
  • 0
"It is so hard to believe, that all this is the way that it has to be."
It's five o'clock - Aphrodite's Child

Prawdopodobieństwo może być co najwyżej równe 1!

#7 Jamnowaczek89

Jamnowaczek89

    Wielki Analityk

  • VIP
  • 1107 postów
193
Pomocnik II
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 12.02.2008 - 20:42

Wyjdzie tak jak napisałeś plus wynik z przypadku 1:
m \in [\frac{1}{2},\sqrt{2}] \cup \{\frac{\sqrt{2}}{2}\}


ale wynik z pierwszego przypadku jest zawarty w przedziale, który wyszedł z równania kwadratowego..więc wystarczy samom \in <\frac{1}{2},\sqrt{2}>
  • 0