Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie

znaleźć przedziały monotoniczności i ekstrema lokalne funkcj


  • Zamknięty Temat jest zamknięty
3 odpowiedzi w tym temacie

#1 Matka Chrzestna

Matka Chrzestna

    Wymierny

  • Użytkownik
  • 64 postów
0
Neutralny

Napisano 08.02.2008 - 19:36

znaleźć przedziały monotoniczności i ekstrema lokalne funkcji

oo) y=  (\frac{lnx}{x})^2

rr) y=   2cosx+2x+7
  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 tadpod

tadpod

    Wielki Analityk

  • $Jr Admin
  • 7153 postów
3155
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 09.02.2008 - 12:00

[quote name='Matka Chrzestna']znaleźć przedziały monotoniczności i ekstrema lokalne funkcji

oo) y.

1. Warunek KONIECZNY istnienia ekstremum lokalnego to zerowanie się 1-szej pochodnej, czyli równanie:

y <=> \ -2(sinx-1)>0\ /<img src='http://matma4u.pl//public/style_emoticons/<#EMO_DIR#>/sad.gif' class='bbc_emoticon' alt=';)' />-2)\ <=> \ sinx-1<0\ <=> \ sinx<1\ <=>x\in R-(\frac{\pi}{2}+2k\pi)\ , co mówiąc słowami;
pochodna jest dodatnia wszędzie poza punktami, w których się zeruje, czyli nie zmienia znaku i jest dodatnia, więc:

NIE MA ekstremum i jest ROSNĄCA w swojej dziedzinie R,

a ponadto warto zauważyc idąc dalej (o to już autor zadania się nie pyta), że druga pochodna \ y''=-2cosx\ i \ y''=0\ <=> cosinus się zeruje,
czyli \ x=\frac{\pi}{2}+2k\pi \ , czyli w tych samych x co powyżej , spodziewamy sie więc w tych punktach punktów przegięcia i co więcej, one,
bo druga pochodna zmienia w ich otoczeniu znak, mianowicie np:\ y''>0\ <=> \ cosx<0\ , a więc na prawo od tych punków f jest wypukła
(styczna od dołu), zaś na lewo jest \ y''<0\ , f jest wklęsła (styczna od góry).

I już tak naprawdę na koniec, możesz sobie wyobrazić jak wygląda ten wykres; otóż narysuj prostą o równaniu \ y=2x+7\ i narysuj wijącego się ...
węża wdrapującego się wzdłuż tej prostej ...no i jeszcze parę szczegółow, których nie jestem w stanie ...opowiedzieć, ale niech zadziała twoja wyobraźnia
(a także zachęcam innych ciekawych, którzy ... przypadkowo zajrzą na tę stronę).
  • 0

#3 Matka Chrzestna

Matka Chrzestna

    Wymierny

  • Użytkownik
  • 64 postów
0
Neutralny

Napisano 16.02.2008 - 22:05

dzięki a pzykład oo ?
  • 0

#4 tadpod

tadpod

    Wielki Analityk

  • $Jr Admin
  • 7153 postów
3155
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 17.02.2008 - 00:43

dzięki a pzykład oo ?

otóż, R_{+}, czyli x\in (0 ; +\infty)\

1. Obliczam pochodną: \ y'=((\frac{lnx}{x})^2)'=2\frac{lnx}{x}\cdot (\frac{lnx}{x})' =2\frac{lnx}{x}\cdot \frac{\frac{1}{x}\cdot x-lnx\cdot 1}{x^2}=\frac{2lnx(1-lnx)}{x^3}\ ,

2. Badam warunek konieczny istnienia ekstremum: \ y'=0\ <=> \ 2lnx(1-lnx)=0\ <=> \ lnx=0 \ lub \ \ lnx=1\ <=>
<=>\ x=e^0=1\ lub \ \ x=e^1=e\ .

3. Badam warunek wystarczający ekstremum i monotoniczność funkcji jednocześnie: w tym celu rozwiązuję nierówność,

np. \ y'>0\ <=> \ lnx\cdot (1-lnxx)>0\ <=> \ \{lnx>0\\ 1-lnx>0\ \ lub \ \{lnx<0\\ 1-lnx<0\ <=> \ \{x>e^0\\ lnx<1\ \ lub \ \{x<e^0\\ lnx>1\ <=>

<=> \ \{x>1\\ x<e\ \ lub \ \{x<1\\ x>e\ <=> \ 1<x<e\ \ - stąd możemy powiedzieć, że:

 \ y'>0\ w przedziale \ (1\ ;\ e),\ i w tym przedziale jest rosnąca ,zaś \ y'<0\ w przedziałach \ (-\infty\ ;\ 1)\ i \ (e\ ;\ \infty).\
i właśnie w tych przedziałach jest malejąca (nie wolno ci tych przedziałów połączyć znakiem sumy \cup .

Dalej wnioskujemy, że MIN. lokalne jest w x=1\ i ma wartość \ y=f(1)=(\frac{ln1}{1})^2=(\frac{0}{1})^2=0\ ,

zaś funkcja ma lokalne\ MAX. w x=e\ równe \ y=f(e)= )=(\frac{lne}{e})^2=(\frac{1}{e})^2=\frac{1}{e^2}=e^{-2}.\ ... no to tyle i ... 8)
  • 0