znaleźć przedziały monotoniczności i ekstrema lokalne funkcji
oo)
rr)
znaleźć przedziały monotoniczności i ekstrema lokalne funkcj
Rozpoczęty przez Matka Chrzestna, Feb 08 2008 19:36
3 odpowiedzi w tym temacie
#1
Napisano 08.02.2008 - 19:36
Napisano 25.09.2011 - 17:55
#2
Napisano 09.02.2008 - 12:00
[quote name='Matka Chrzestna']znaleźć przedziały monotoniczności i ekstrema lokalne funkcji
oo) .
1. Warunek KONIECZNY istnienia ekstremum lokalnego to zerowanie się 1-szej pochodnej, czyli równanie:
<=> <=> <=> <=>, co mówiąc słowami;
pochodna jest dodatnia wszędzie poza punktami, w których się zeruje, czyli nie zmienia znaku i jest dodatnia, więc:
NIE MA ekstremum i jest ROSNĄCA w swojej dziedzinie R,
a ponadto warto zauważyc idąc dalej (o to już autor zadania się nie pyta), że druga pochodna i <=> cosinus się zeruje,
czyli , czyli w tych samych x co powyżej , spodziewamy sie więc w tych punktach punktów przegięcia i co więcej, SĄ one,
bo druga pochodna zmienia w ich otoczeniu znak, mianowicie np: <=> , a więc na prawo od tych punków f jest wypukła
(styczna od dołu), zaś na lewo jest , f jest wklęsła (styczna od góry).
I już tak naprawdę na koniec, możesz sobie wyobrazić jak wygląda ten wykres; otóż narysuj prostą o równaniu i narysuj wijącego się ...
węża wdrapującego się wzdłuż tej prostej ...no i jeszcze parę szczegółow, których nie jestem w stanie ...opowiedzieć, ale niech zadziała twoja wyobraźnia
(a także zachęcam innych ciekawych, którzy ... przypadkowo zajrzą na tę stronę).
oo) .
1. Warunek KONIECZNY istnienia ekstremum lokalnego to zerowanie się 1-szej pochodnej, czyli równanie:
<=> <=> <=> <=>, co mówiąc słowami;
pochodna jest dodatnia wszędzie poza punktami, w których się zeruje, czyli nie zmienia znaku i jest dodatnia, więc:
NIE MA ekstremum i jest ROSNĄCA w swojej dziedzinie R,
a ponadto warto zauważyc idąc dalej (o to już autor zadania się nie pyta), że druga pochodna i <=> cosinus się zeruje,
czyli , czyli w tych samych x co powyżej , spodziewamy sie więc w tych punktach punktów przegięcia i co więcej, SĄ one,
bo druga pochodna zmienia w ich otoczeniu znak, mianowicie np: <=> , a więc na prawo od tych punków f jest wypukła
(styczna od dołu), zaś na lewo jest , f jest wklęsła (styczna od góry).
I już tak naprawdę na koniec, możesz sobie wyobrazić jak wygląda ten wykres; otóż narysuj prostą o równaniu i narysuj wijącego się ...
węża wdrapującego się wzdłuż tej prostej ...no i jeszcze parę szczegółow, których nie jestem w stanie ...opowiedzieć, ale niech zadziała twoja wyobraźnia
(a także zachęcam innych ciekawych, którzy ... przypadkowo zajrzą na tę stronę).
#3
Napisano 16.02.2008 - 22:05
dzięki a pzykład oo ?
#4
Napisano 17.02.2008 - 00:43
otóż, , czylidzięki a pzykład oo ?
1. Obliczam pochodną: ,
2. Badam warunek konieczny istnienia ekstremum: <=> <=> lub <=>
<=> lub .
3. Badam warunek wystarczający ekstremum i monotoniczność funkcji jednocześnie: w tym celu rozwiązuję nierówność,
np. <=> <=> lub <=> lub <=>
<=> lub <=>- stąd możemy powiedzieć, że:
w przedziale i w tym przedziale jest rosnąca ,zaś w przedziałach i
i właśnie w tych przedziałach jest malejąca (nie wolno ci tych przedziałów połączyć znakiem sumy.
Dalej wnioskujemy, że lokalne jest w i ma wartość ,
zaś funkcja ma lokalne w równe ... no to tyle i ... 8)