Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie

Przekątne AC i BD kwadratu ABCD


  • Zamknięty Temat jest zamknięty
1 odpowiedź w tym temacie

#1 dominik

dominik

    Ułamek

  • Użytkownik
  • 8 postów
0
Neutralny

Napisano 07.02.2008 - 19:50

Przekątne AC i BD kwadratu ABCD przecinają się w punkcie O. Punkt M jest środkiem odcinka OD, N – środkiem BC. Udowodnij, że trójkąt AMN jest prostokątny i równoramienny.
  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 wwbit

wwbit

    Nowicjusz

  • Użytkownik
  • 1 postów
0
Neutralny

Napisano 10.02.2008 - 15:03

1) Wykonaj rysunek wg opisu
2) Oznacz długość odcineka |OM|=a
3) |OD|=2a (wynika z treści zadania)
4) Przekątne kwadratu dzielą się na połowy
- wobec tego |AO|=|OD|=2*a
oraz |AB|=2*a*sqrt{2}
- oraz pod kątem prostym, stąd trójkąt AOM jest prostokątny
i z tw.Pitagorasa
|AM|^2=|AO|^2+|OM|^2
|AM|=a*sqrt{5}

5) W trójkącie MBN
|MB|=|MO|+|OB|=3*a
|BN|=0.5*|BC|=a*sqrt{2}

Kąt MBN wynsi 45^o
Z tw.kosinusów obliczamy długość boku |MN|
|MN|^2=|BM|^2+|BN|^2-2*|BM|*|BN|*cos(45^o)=5*a^2
Ponieważ |MN|=|AM| to trójkąt ANM jest równoramienny.
6) W trojkącie ABN z tw. Pitagorasa obliczamy długość przeciwprostotątnej
|AN|=a*sqrt{10}
7) Teraz sprawdzisz, że w trójkącie ANM zachodzi związek
|AN|^2=|AM|^2+||MN|^2
a to oznacza, że ten trójkąt jest prostokątny

Pozdrawiam
  • 0