Przekątne AC i BD kwadratu ABCD przecinają się w punkcie O. Punkt M jest środkiem odcinka OD, N – środkiem BC. Udowodnij, że trójkąt AMN jest prostokątny i równoramienny.
Przekątne AC i BD kwadratu ABCD
Rozpoczęty przez dominik, Feb 07 2008 19:50
1 odpowiedź w tym temacie
#1
Napisano 07.02.2008 - 19:50
Napisano 25.09.2011 - 17:55
#2
Napisano 10.02.2008 - 15:03
1) Wykonaj rysunek wg opisu
2) Oznacz długość odcineka |OM|=a
3) |OD|=2a (wynika z treści zadania)
4) Przekątne kwadratu dzielą się na połowy
- wobec tego |AO|=|OD|=2*a
oraz
- oraz pod kątem prostym, stąd trójkąt AOM jest prostokątny
i z tw.Pitagorasa
5) W trójkącie MBN
|MB|=|MO|+|OB|=3*a
Kąt MBN wynsi
Z tw.kosinusów obliczamy długość boku |MN|
Ponieważ |MN|=|AM| to trójkąt ANM jest równoramienny.
6) W trojkącie ABN z tw. Pitagorasa obliczamy długość przeciwprostotątnej
7) Teraz sprawdzisz, że w trójkącie ANM zachodzi związek
a to oznacza, że ten trójkąt jest prostokątny
Pozdrawiam
2) Oznacz długość odcineka |OM|=a
3) |OD|=2a (wynika z treści zadania)
4) Przekątne kwadratu dzielą się na połowy
- wobec tego |AO|=|OD|=2*a
oraz
- oraz pod kątem prostym, stąd trójkąt AOM jest prostokątny
i z tw.Pitagorasa
5) W trójkącie MBN
|MB|=|MO|+|OB|=3*a
Kąt MBN wynsi
Z tw.kosinusów obliczamy długość boku |MN|
Ponieważ |MN|=|AM| to trójkąt ANM jest równoramienny.
6) W trojkącie ABN z tw. Pitagorasa obliczamy długość przeciwprostotątnej
7) Teraz sprawdzisz, że w trójkącie ANM zachodzi związek
a to oznacza, że ten trójkąt jest prostokątny
Pozdrawiam