Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie

Równanie temperatury


  • Zamknięty Temat jest zamknięty
8 odpowiedzi w tym temacie

#1 Mahoni

Mahoni

    Ułamek

  • Użytkownik
  • 5 postów
0
Neutralny

Napisano 05.02.2008 - 10:22

Witam, mam to rozwiązania równanie rózniczkowe po czasie t. Potrzebne z punktu widzenia praktyki. Sam je rozwiązałem, ale jednak wolę się upewnić, czy jest prawidłowo, z góry dzięki i pozdrawiam.

Załączone miniatury

  • dT.gif

  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 tadpod

tadpod

    Wielki Analityk

  • $Jr Admin
  • 7153 postów
3155
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 06.02.2008 - 21:19

Witam, mam to rozwiązania równanie rózniczkowe po czasie t, potrzebne z punktu widzenia praktyki. Sam je rozwiązałem, ale wolę się upewnić, czy jest prawidłowo, z góry dzięki i pozdrawiam.


otóż, 3\cdot \frac{dT}{dt}=10-0,5(T-20)\ . Jest to równanie różniczkowe liniowe gdzie szukana funkcja to T=T(t). Rozwiążę je metodą uzmiennienia stałej następująco:

...=> \ 3\cdot \frac{dT}{dt}=10-0,5T+10\ => (*) \ 3\cdot \frac{dT}{dt}+0,5T=20\ => najpierw rozwiążę równanie jednorodne metodą rozdzielenia zmiennych, mianowicie równanie:

3\cdot \frac{dT}{dt}+\frac{1}{2}T=0\ => \ \frac{3dT}{dt}=-\frac{1}{2}T\ /\cdot {\frac{dt}{T}\ =>\ 3\cdot \frac{dT}{T}=-\frac{1}{2}dt\ => stąd całkując obustronnie otrzymuję\ 3\int \frac{dT}{T}=-\frac{1}{2}\int dt\ => (**) \ 3lnT=-\frac{1}{2}t+C(t)\ ,

gdzie C(t) - uzmienniona stała C całkowania, a więc dalej, rózniczkując obustronnie po t otrzymuję: \ 3\cdot \frac{1}{T}\cdot{T'}=-\frac{1}{2}+C'(t)\ / \cdot T =>\ 3T'=-\frac{1}{2}T+C'(t)\cdot T\ .

a teraz podstawiam to do równania (*) i otrzymuję\ -\frac{1}{2}T+C'(t)\cdot T+\frac{1}{2}T=20\ , skad po redukcji \ C'(t)\cdot T=20\ /:T\ =>\ C'(t)=20\frac{1}{T}\ , a teraz całkując obustronnie \ \int C'(t)dt=20\int \frac{dT}{T}\ => \ C(t)=20lnT+C\ .

Teraz podstawiając tak uzmiennioną stałą do (**) otrzymuję: 3lnT=-\frac{1}{2}t+20lnT\ +C\ => 17lnT=\frac{1}{2}t-C\ => \ lnT=\frac{1}{34}t-C\ =>T=e^{\frac{t}{34}-C}\ =>
T=e^{-C}\cdot e^{\frac{t}{34}}\ => \ T=Ce^{\frac{t}{34}}\ \ ... i to tyle. Co ty na to (?).
  • 0

#3 Mahoni

Mahoni

    Ułamek

  • Użytkownik
  • 5 postów
0
Neutralny

Napisano 07.02.2008 - 11:08

Dziękuję za pomoc. Ja otrzymałem dość podobne rozwiązanie (tzn. z funkcją eksponencjalną), jednak nie metodą uzmienniania stałej - przyznam, że nie jestem ekspertem matematycznym i biorę powyższe rozwiązanie za właściwe ;) Niepokoi mnie jednak rozwiązanie numeryczne tego równania (konkretnie w programie Matlab). Otóż po utworzeniu modelu komputerowego i zadaniu odpowiednich warunków początkowych, jako wynik symulacji otrzymuję linię prostą, a nie przebieg właściwy dla funkcji exp - nie wiem, co może być tego przyczyną, wiem, że całkowanie numeryczne niesie za sobą pewne błędy, ale nie uważam, że aż tak znaczące. Może ktoś będzie potrafił wypowiedzieć się na ten temat, dziekuję i pozdrawiam
  • 0

#4 tadpod

tadpod

    Wielki Analityk

  • $Jr Admin
  • 7153 postów
3155
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 07.02.2008 - 14:57

Dziękuję za pomoc. Ja otrzymałem dość podobne rozwiązanie (tzn. z funkcją eksponencjalną), jednak nie metodą uzmienniania stałej - przyznam, że nie jestem ekspertem matematycznym i biorę powyższe rozwiązanie za właściwe ;) Niepokoi mnie jednak rozwiązanie numeryczne tego równania (konkretnie w programie Matlab). Otóż po utworzeniu modelu komputerowego i zadaniu odpowiednich warunków początkowych, jako wynik symulacji otrzymuję linię prostą, a nie przebieg właściwy dla funkcji exp - nie wiem, co może być tego przyczyną, wiem, że całkowanie numeryczne niesie za sobą pewne błędy, ale nie uważam, że aż tak znaczące. Może ktoś będzie potrafił wypowiedzieć się na ten temat, dziekuję i pozdrawiam


Uważam, że to może być w porządku, bo ta krzywa wykładnicza szybko zasuwa ostro w górę przy małej zmianie temperatury ... i możesz ją interpolować (zastąpić) prostą co będzie wystarczające w twoim problemie ..., albo porozmawiaj z praktykami czy twój model matematyczny (to równanie) jest odpowiedni (dobre)?
  • 0

#5 Przemyslaw Lyzwa

Przemyslaw Lyzwa

    Operator całkujący

  • VIP
  • 315 postów
1
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 07.02.2008 - 15:18

A modelowałeś w Matlabie "tekstowym" czy Simulinku?
Jak w Simulinku, to wrzuć printscreen, jak w "tekstowym" to skopiuj tu m-plik, zobaczymy w czym tkwi błąd.
  • 0
Na przykład nigdy nie zostaniemy matematykami, nawet znając na pamięć cudze dowody, jeśli nasz umysł nie jest zdolny do samodzielnego rozwiązywania jakichś problemów..." .
Kartezjusz
e^{2\pi i}-1=0

#6 Mahoni

Mahoni

    Ułamek

  • Użytkownik
  • 5 postów
0
Neutralny

Napisano 07.02.2008 - 22:27

Faktycznie, okazuje się, że w bardzo dużym przedziale czasu (ustawiłem czas symulacji milion sekund - precyzuję, że jest to w simulinku) widać wreszcie ten wykładniczy charakter ;) Z punktu widzenia mojego problemu, a więc w zakresie temperatur 10 - 90 stopni C charakter zmian do złudzenia przypomina liniowy. Przesyłam dodatkowo printscreena z tej megasekundowej symulacji :D Jeszcze raz dziękuję i pozdrawiam. Mam nadzieję zgłaszać się do Was z matematycznymi problemami opisu procesów w technice :) Dodam jeszcze, że wykres ten pochodzi z modelu matematycznego o takiej samej konstrukcji, jaką przesłałem na początku, z innymi natomiast stałymi.

Załączone miniatury

  • wykres.GIF

  • 0

#7 tadpod

tadpod

    Wielki Analityk

  • $Jr Admin
  • 7153 postów
3155
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 07.02.2008 - 22:54

Faktycznie, okazuje się, że w bardzo dużym przedziale czasu (ustawiłem czas symulacji milion sekund - precyzuję, że jest to w simulinku) widać wreszcie ten wykładniczy charakter ;) Z punktu widzenia mojego problemu, a więc w zakresie temperatur 10 - 90 stopni C charakter zmian do złudzenia przypomina liniowy. Przesyłam dodatkowo printscreena z tej megasekundowej symulacji :D Jeszcze raz dziękuję i pozdrawiam. Mam nadzieję zgłaszać się do Was z matematycznymi problemami opisu procesów w technice :) Dodam jeszcze, że wykres ten pochodzi z modelu matematycznego o takiej samej konstrukcji, jaką przesłałem na początku, z innymi natomiast stałymi.


Świetnie! Cieszę się. Nawzajem wiele ...nauczyliśmy się. Pozdrawiam.
  • 0

#8 Mahoni

Mahoni

    Ułamek

  • Użytkownik
  • 5 postów
0
Neutralny

Napisano 08.02.2008 - 17:22

Hmmm... jeszcze jedno... ;) Wykres z simulinka przedstawia funkcję logarytmiczną (wykres powyżej), a ja w rozwiązaniu mam funkcję eksponencjalną, co może byc nie tak? Szukam przyczyn, ale na razie nie znalazłem... :D
  • 0

#9 tadpod

tadpod

    Wielki Analityk

  • $Jr Admin
  • 7153 postów
3155
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 08.02.2008 - 20:12

Hmmm... jeszcze jedno... ;) Wykres z simulinka przedstawia funkcję logarytmiczną (wykres powyżej), a ja w rozwiązaniu mam funkcję eksponencjalną, co może byc nie tak? Szukam przyczyn, ale na razie nie znalazłem... :D

no cóż, ja to zauważyłem już wcześnioej, że to jest wykres wypukły (?), w t=0 widzę, że jest jakaś wartość T>0.Niwe wiem co może tę krzywą wykładniczą tak ...zaginać... No to może weż jakiś kalkulator graficzny i wklep tę funkcję dla swoich danych. Niestety ja już ci nie pomogę, ale szukaj..........!!!

... a może ty zrobiłeś wykres funkcji odwrotnej - czasu od temperatury, zamiast temperatury od czasu; może tu co widzę oś pozioma to temperatura, a pionowa to czas. No nie wiem, bo czas to faktycznie jest funkcją logarytmiczną temperatury ...coś mi tu nie gra ...szukajcie ...a znajdziecie...
  • 0