Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie

Szeregi- badnie zbieżności


  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
1 odpowiedź w tym temacie

#1 shimeck

shimeck

    Nowicjusz

  • Użytkownik
  • 1 postów
0
Neutralny

Napisano 02.02.2008 - 16:07

Mam ogromny problem z dwóma szeregami, byłbym bardzo wdzięczny za zamieszczenie rozwiązania, w miarę możliwości bez większych przeskoków myślowych. Przepraszam za fatalną formę graficzną, ale możliwości mojego worda nie pozwalają na więcej( brak Microsoft Equation).
Tu zamieszczam dane szeregi:

1)   ((-1)^{(n-1)})(\sqrt{(n^2+2)-n})
2)  \frac {(arctg n)}{(n^{3-n})}


Pozdrawiam!!
  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 Kinia7

Kinia7

    Wielki Analityk

  • ^Przyjaciele
  • 3087 postów
404
Instruktor II
  • Płeć:Kobieta

Napisano 01.12.2018 - 00:02

1)
a_n=(-1)^{n-1}(\sq{n^2+2}-n)
kryterium d'Alemberta
\lim_{n\to\infty}\fr{|a_{n+1}|}{|a_n|}=\lim_{n\to\infty}\fr{\sq{(n+1)^2+2}-(n+1)}{\sq{n^2+2}-n}=\lim_{n\to\infty}\fr{\(\sq{(n+1)^2+2}-(n+1)\)\(\sq{(n+1)^2+2}+(n+1)\)\(\sq{n^2+2}+n\)}{\(\sq{(n+1)^2+2}+(n+1)\)\(\sq{n^2+2}-n\)\(\sq{n^2+2}+n\)}=
=\lim_{n\to\infty}\fr{\((n+1)^2+2-(n+1)^2\)\(\sq{n^2+2}+n\)}{\(\sq{(n+1)^2+2}+(n+1)\)\(n^2+2-n^2\)}=\lim_{n\to\infty}\fr{\(\sq{n^2+2}+n\)}{\(\sq{(n+1)^2+2}+n+1\)}=\lim_{n\to\infty}\fr{n\(\sq{1+\fr2{n^2}}+1\)}{n\(\sq{(1+\fr1n)^2+\fr2{n^2}}+1+\fr1n\)}=
=\lim_{n\to\infty}\fr{\sq{1+\fr2{n^2}}+1}{\sq{(1+\fr1n)^2+\fr2{n^2}}+1+\fr1n}=\fr{\sq{1+0}+1}{\sq{(1+0)^2+0}+1+0}=1
granica jest =1, więc trzeba sprawdzić
kryterium Raabego
\lim_{n\to\infty}n\(\fr{|a_n|}{|a_{n+1}|}-1\)=\lim_{n\to\infty}n\(\fr{\sq{(1+\fr1n)^2+\fr2{n^2}}+1+\fr1n}{\sq{1+\fr2{n^2}}+1}-1\)=\lim_{n\to\infty}n\(\fr{\sq{(1+\fr1n)^2+\fr2{n^2}}+1+\fr1n-\sq{1+\fr2{n^2}}-1}{\sq{1+\fr2{n^2}}+1}\)=
=\lim_{n\to\infty}n\(\fr{\sq{(1+\fr1n)^2+\fr2{n^2}}-\sq{1+\fr2{n^2}}+\fr1n}{\sq{1+\fr2{n^2}}+1}\)=\lim_{n\to\infty}\fr{\sq{(n+1)^2+2}-\sq{n^2+2}+1}{\sq{1+\fr2{n^2}}+1}=
=\lim_{n\to\infty}\fr{\fr{\(\sq{(n+1)^2+2}-\sq{n^2+2}\)\(\sq{(n+1)^2+2}+\sq{n^2+2}\)}{\sq{(n+1)^2+2}+\sq{n^2+2}}+1}{\sq{1+\fr2{n^2}}+1}=\lim_{n\to\infty}\fr{\fr{(n+1)^2+2-n^2-2}{\sq{(n+1)^2+2}+\sq{n^2+2}}+1}{\sq{1+\fr2{n^2}}+1}=
=\lim_{n\to\infty}\fr{\fr{2n+1}{n\sq{(1+\fr1n)^2+\fr2{n^2}}+n\sq{1+\fr2{n^2}}}+1}{\sq{1+\fr2{n^2}}+1}=\lim_{n\to\infty}\fr{\fr{n(2+\fr1n)}{n\(\sq{(1+\fr1n)^2+\fr2{n^2}}+\sq{1+\fr2{n^2}}\)}+1}{\sq{1+\fr2{n^2}}+1}=\lim_{n\to\infty}\fr{\fr{2+\fr1n}{\sq{(1+\fr1n)^2+\fr2{n^2}}+\sq{1+\fr2{n^2}}}+1}{\sq{1+\fr2{n^2}}+1}=
=\fr{\fr{2+0}{\sq{(1+0)^2+0}+\sq{1+0}}+1}{\sq{1+0}+1}=1
granica jest równa 1, więc zbieżność nie jest rozstrzygnięta
pozostałe przykłady umieść w oddzielnych tematach

1)
a_n=(-1)^{n-1}(\sq{n^2+2}-n)
kryterium d'Alemberta
\lim_{n\to\infty}\fr{|a_{n+1}|}{|a_n|}=\lim_{n\to\infty}\fr{\sq{(n+1)^2+2}-(n+1)}{\sq{n^2+2}-n}=\lim_{n\to\infty}\fr{\(\sq{(n+1)^2+2}-(n+1)\)\(\sq{(n+1)^2+2}+(n+1)\)\(\sq{n^2+2}+n\)}{\(\sq{(n+1)^2+2}+(n+1)\)\(\sq{n^2+2}-n\)\(\sq{n^2+2}+n\)}=
=\lim_{n\to\infty}\fr{\((n+1)^2+2-(n+1)^2\)\(\sq{n^2+2}+n\)}{\(\sq{(n+1)^2+2}+(n+1)\)\(n^2+2-n^2\)}=\lim_{n\to\infty}\fr{\(\sq{n^2+2}+n\)}{\(\sq{(n+1)^2+2}+n+1\)}=\lim_{n\to\infty}\fr{n\(\sq{1+\fr2{n^2}}+1\)}{n\(\sq{(1+\fr1n)^2+\fr2{n^2}}+1+\fr1n\)}=
=\lim_{n\to\infty}\fr{\sq{1+\fr2{n^2}}+1}{\sq{(1+\fr1n)^2+\fr2{n^2}}+1+\fr1n}=\fr{\sq{1+0}+1}{\sq{(1+0)^2+0}+1+0}=1
granica jest =1, więc trzeba sprawdzić
kryterium Raabego
\lim_{n\to\infty}n\(\fr{|a_n|}{|a_{n+1}|}-1\)=\lim_{n\to\infty}n\(\fr{\sq{(1+\fr1n)^2+\fr2{n^2}}+1+\fr1n}{\sq{1+\fr2{n^2}}+1}-1\)=\lim_{n\to\infty}n\(\fr{\sq{(1+\fr1n)^2+\fr2{n^2}}+1+\fr1n-\sq{1+\fr2{n^2}}-1}{\sq{1+\fr2{n^2}}+1}\)=
=\lim_{n\to\infty}n\(\fr{\sq{(1+\fr1n)^2+\fr2{n^2}}-\sq{1+\fr2{n^2}}+\fr1n}{\sq{1+\fr2{n^2}}+1}\)=\lim_{n\to\infty}\fr{\sq{(n+1)^2+2}-\sq{n^2+2}+1}{\sq{1+\fr2{n^2}}+1}=
=\lim_{n\to\infty}\fr{\fr{\(\sq{(n+1)^2+2}-\sq{n^2+2}\)\(\sq{(n+1)^2+2}+\sq{n^2+2}\)}{\sq{(n+1)^2+2}+\sq{n^2+2}}+1}{\sq{1+\fr2{n^2}}+1}=\lim_{n\to\infty}\fr{\fr{(n+1)^2+2-n^2-2}{\sq{(n+1)^2+2}+\sq{n^2+2}}+1}{\sq{1+\fr2{n^2}}+1}=
=\lim_{n\to\infty}\fr{\fr{2n+1}{n\sq{(1+\fr1n)^2+\fr2{n^2}}+n\sq{1+\fr2{n^2}}}+1}{\sq{1+\fr2{n^2}}+1}=\lim_{n\to\infty}\fr{\fr{n(2+\fr1n)}{n\(\sq{(1+\fr1n)^2+\fr2{n^2}}+\sq{1+\fr2{n^2}}\)}+1}{\sq{1+\fr2{n^2}}+1}=\lim_{n\to\infty}\fr{\fr{2+\fr1n}{\sq{(1+\fr1n)^2+\fr2{n^2}}+\sq{1+\fr2{n^2}}}+1}{\sq{1+\fr2{n^2}}+1}=
=\fr{\fr{2+0}{\sq{(1+0)^2+0}+\sq{1+0}}+1}{\sq{1+0}+1}=1
granica jest równa 1, więc zbieżność nie jest rozstrzygnięta
pozostałe przykłady umieść w oddzielnych tematach

  • 0