Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie

Oblicz sumę wszystkich pierwiastków równania


  • Zamknięty Temat jest zamknięty
1 odpowiedź w tym temacie

#1 lost

lost

    Lukemeister

  • $Jr Admin
  • 1619 postów
655
Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 03.02.2009 - 17:05

Oblicz sumę wszystkich pierwiastków równania sin(9x) = 2sin(3x) w przedziale od (0;3,14).
  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3365 postów
3039
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 23.08.2015 - 11:29

\sin \left(9x\right)-2\sin \left(3x\right)=0

 

teraz podstawienie 3x=u

 

\sin \left(3u\right)-2\sin \left(u\right)=0

 

ponieważ \sin \left(3x\right)=-\sin ^3\left(x\right)+3\cos ^2\left(x\right)\sin \left(x\right)

 

-\sin ^3\left(u\right)-2\sin \left(u\right)+3\cos ^2\left(u\right)\sin \left(u\right)=0

 

\sin \left(u\right)\left(3\cos ^2\left(u\right)-2-\sin ^2\left(u\right)\right)=0

 

czyli

 

\sin \left(u\right)=0            lub             3\cos ^2\left(u\right)-2-\sin ^2\left(u\right)=0

 

                                                                       \sin ^2\left(x\right)=1-\cos ^2\left(x\right)

 

                                                          -\left(1-\cos ^2\left(u\right)\right)-2+3\cos ^2\left(u\right)=\quad 4\cos ^2\left(u\right)-3=0

 

                                                                Czyli

 

                                                           \cos \left(u\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}                  lub                  \cos \left(u\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}

 

 

                                                                i mamy cztery rozwiązania

 

                                                           u=\frac{\pi }{6}+2k\pi                     u=\frac{11\pi }{6}+2k\pi                 dla              \cos \left(u\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}    

 

                                                           u=\frac{5\pi }{6}+2k\pi                   u=\frac{7\pi }{6}+2k\pi                   dla             \cos \left(u\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}

 

\sin \left(u\right)=0     i mamy dwa rozwiązania           u=2k\pi          i         u=\pi +2k\pi

 

Teraz wszystkie wyniki trzeba podzielić przez 3 i mamy

 

x=\frac{2k\pi}{3}

 

x=\frac{\pi}{3}+\frac{2}{3}k\pi

 

x=\frac{\pi }{18}+\frac{2}{3}k\pi 

        

x=\frac{11\pi }{18}+\frac{2}{3}k\pi

 

x=\frac{5\pi}{18}+\frac{2}{3}k\pi 

 

x=\frac{7\pi }{18}+\frac{2}{3}k\pi

 

Ogranicz rozwiązania do przedziału 0,\pi zgodnie z treścią


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 23.08.2015 - 11:58

  • 0

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską