Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
        STUDIA        

Całka nieoznaczona niewymierna

całka nieoznaczona rachunek całkowy

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
2 odpowiedzi w tym temacie

#1 xusia89

xusia89

    Ułamek

  • Użytkownik
  • 16 postów
0
Neutralny

Napisano 19.01.2009 - 19:52

Mam problem z policzeniem następującej całki:

 \int \frac{x^{2}-1}{(x^2+1)\sqrt{1+x^{4}}} dx
  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 4147 postów
3396
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 25.08.2015 - 11:38

*
Najwyższa ocena

Tę całkę większość programów "widzi" jako eliptyczną, ale ona jest pseudo-eliptyczna - odpowiednie przekształcenie i podstawienie Eulera ułatwi znacznie jej rozwiązanie.

 

Najpierw kilka przekształceń:

 

\int \frac{x^2-1}{\left(x^2+1\right)\sqrt{1+x^4}}dx=\int \frac{1-\frac{1}{x^2}}{\left(1+\frac{1}{x^2}\right)\sqrt{x^{2}\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)}}dx=\int \frac{1-\frac{1}{x^2}}{\left(1+\frac{1}{x^2}\right)x\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}}dx=\int{\frac{1-\frac{1}{x^2}}{\left(x+\frac{1}{x}\right)\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}}dx

 

Teraz podstawiamy:

 

t=x+\frac{1}{x}                                 dt=\left(1-\frac{1}{x^2}\right)dx

 

t^2=x^2+2\cdot x\cdot\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}          więc       t^2=x^2+\frac{1}{x^2}+2

 

i mamy x^2+\frac{1}{x^2}=t^2-2  co daje całkę:

 

\int{\frac{dt}{t\sqrt{t^2-2}}}

 

 

Teraz stosujesz I podstawienie Eulera \sqrt{t^2-2}=u-t

 

\sqrt{t^2-2}=u-t

 

t^2-2=u^2-2tu+t^2               więc        -2=u^2-2tu        co daje      2tu=u^2+2            co daje

 

t=\frac{u^2+2}{2u}                i podstawiając za t

 

u-t=u-\frac{u^2+2}{2u}=\frac{2u^2-u^2-2}{2u}=\frac{u^2-2}{2u}

 

dt=\frac{2u\cdot 2u-2\left(u^2+2\right)}{4u^2}du

 

dt=\frac{u^2-2}{2u^2}du

 

Wracając do całki

 

\int\frac{2u}{u^2+2}\cdot\frac{2u}{u^2-2}\cdot\frac{u^2-2}{2u^2}du=2\int{\frac{\mbox{d}u}{u^2+2}}=\int\frac{du}{1+\left(\frac{u}{\sqrt{2}}\right)^2}=\sqrt{2}\int\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}du}{1+\left(\frac{u}{\sqrt{2}}\right)^2}=1\int\frac{du}{1+\left(\frac{u}{\sqrt{2}}\right)^2}

 

Można dać pomocnicze podstawienie \frac{u}{\sqrt{2}=v ale w gruncie rzeczy ta całka już łatwa

 

=\sqrt{2}arctg{\left(\frac{u}{\sqrt{2}}\right)}+C=\sqrt{2}arctg{\left(\frac{t+\sqrt{t^2-2}}{\sqrt{2}}\right)}+C=\sqrt{2}arctg{\left(\frac{x+\frac{1}{x}+\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}}{\sqrt{2}}\right)}+C

 

=\sqrt{2}arctg{\left(\frac{x^2+1+x\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}}{\sqrt{2}\cdot x}\right)}+C=\sqrt{2}arctg{\left(\frac{x^2+1+\sqrt{1+x^4}}{\sqrt{2}\cdot x}\right)}+C

 

\fbox{\int{\frac{x^2-1}{\left(x^2+1\right)\sqrt{1+x^4}}\mbox{d}x}=\sqrt{2}\arctan{\left(\frac{x^2+1+\sqrt{1+x^4}}{\sqrt{2}\cdot x}\right)}+C}

 

 

 

p.s.

Błąd wyłapał Mariusz M - chwała mu za to


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 25.08.2015 - 12:21

  • 3

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#3 Mariusz M

Mariusz M

    Wielki Analityk

  • Użytkownik
  • Redaktor
  • 896 postów
412
Instruktor II
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 25.08.2015 - 12:15

\mbox{d}t=\frac{u^2-2}{\left(2u\right)^2}\mbox{d}u

 

Usuń nawiasy z mianownika i wszystko będzie ok

 

Pod całką masz ten sam błąd

 

Ta czwórka z mianownika skróciła się z dwójką z licznika i dlatego w mianowniku nie powinno być tego nawiasu

 

W przejściu przed tekstem


 

Można dać pomocnicze podstawienie ... ale w gruncie rzeczy ta całka już łatwa

 

niepotrzebnie wymnażałeś

 

\sqrt{2}\int{\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}\mbox{d}u}{1+\left(\frac{u}{\sqrt{2}}\right)^2}}

 

Z powyższego zapisu lepiej widać funkcję pierwotną niż po wymnożeniu


Użytkownik Mariusz M edytował ten post 25.08.2015 - 12:28

  • 2