Niech X bedzie przestrzenią unormowaną, w której każdy bezwzględnie zbiezny szereg jest zbiezny. Wykazać, że X jest przestrzenią Banacha.
Przestrzen Banacha to przestrzen unormowana zupelna (tzn., kazdy ciag Cauchy'ego ma w tej przestrzeni granice).
Ok. W przestrzeni mamy norme, ktora wyznacza odleglosc. Zdefiniowane jest takze dodawanie elementow (i odejmowanie). Zalozenie jest takie, ze
, jesli tylko -ow, znajde takie , ze bedzie
, dla kazdego .
Powiedzmy, ze okreslilem ciag liczb naturalnych takich, ze (to sie nazywa definiowanie przez indukcje)
, dla kazdego i dla kazdego . Wowczas istnieje taka liczba naturalna K, ze
, dla liczbe i
, dla .
Swietnie, mamy ciag o zadanych wlasnosciach. Teraz tworzymy szereg .
Zatem
.
To pozwala nam stwierdzic, zgodnie z zalozeniem, ze
, czyli , tj. .
Mamy zatem podciag zbiezny. Latwo jest wykazac, ze jesli ciag Cauchy'ego ma podciag zbiezny, to musi sam byc zbiezny (oczywiscie do tej samej granicy). To konczy dowod.