Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie

Wykazać, że X jest przestrzenią Banacha


  • Zamknięty Temat jest zamknięty
1 odpowiedź w tym temacie

#1 darlove

darlove

    Druga pochodna

  • VIP
  • 131 postów
44
Mały Pomocnik II
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 14.03.2009 - 18:44

Niech X bedzie przestrzenią unormowaną, w której każdy bezwzględnie zbiezny szereg jest zbiezny. Wykazać, że X jest przestrzenią Banacha.


Przestrzen Banacha to przestrzen unormowana zupelna (tzn., kazdy ciag Cauchy'ego ma w tej przestrzeni granice).

Ok. W przestrzeni X mamy norme, ktora wyznacza odleglosc. Zdefiniowane jest takze dodawanie elementow (i odejmowanie). Zalozenie jest takie, ze

\Bigwedge_{\epsilon}\Bigvee_{K\in\mathbb{N}}\,||x_n-x_m||<\epsilon, jesli tylko \epsilon-ow, \epsilon_1 znajde takie n_1, ze bedzie

||x_m-x_{n_1}||<\epsilon_1, dla kazdego m>n_1.

Powiedzmy, ze okreslilem ciag liczb naturalnych n_1<n_2<\cdots<n_k takich, ze (to sie nazywa definiowanie przez indukcje)

||x_m-x_{n_i}||<\epsilon_i, dla kazdego m>n_i i dla kazdego \epsilon_{k+1}. Wowczas istnieje taka liczba naturalna K, ze

||x_m-x_n||<\epsilon_{k+1}, dla n_{k+1} liczbe n_k<n_{k+1} i

||x_m-x_{n_{k+1}}||<\epsilon_{k+1}, dla m>n_{k+1}.

Swietnie, mamy ciag x_{n_k} o zadanych wlasnosciach. Teraz tworzymy szereg 1.

Zatem

\sum^{\infty}_{k=2}||x_{n_k}-x_{n_{k-1}}||\leq 1<\infty.

To pozwala nam stwierdzic, zgodnie z zalozeniem, ze

a_m\rightarrow x\in X, czyli (x_{n_m}-x_{n_1})\rightarrow x, tj. x_{n_m}\rightarrow x+x_{n_1}.

Mamy zatem podciag zbiezny. Latwo jest wykazac, ze jesli ciag Cauchy'ego ma podciag zbiezny, to musi sam byc zbiezny (oczywiscie do tej samej granicy). To konczy dowod.



Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55


Wróć do Analiza wyższa