Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie

obraz i przeciwobraz


  • Zamknięty Temat jest zamknięty
Brak odpowiedzi do tego tematu

#1 carbon

carbon

    Nowicjusz

  • Użytkownik
  • 1 postów
0
Neutralny

Napisano 17.11.2008 - 12:31

Witam,

Mam zadane zadanie domowe z logiki. Bardzo mi zależy na dostaniu maksymalnej lub prawie maksymalnej ilości punktów. Rozwiązałem to zadanie po swojemu z pomocą książek i internetu. Proszę o rzucenie fachowym okiem na schemat rozwiązania oraz komentarze. Bardzo dziękuję za wszelką pomoc, dobre uwagi i komentarze...

Niech\qquad f : X\rightarrow Y\qquad oraz\qquad A, B \subseteq X Uzupełnij i udowodnij wzory:

a) f(A\cup B) = f(A)\cup f(B)

b) f(A\cap B)\quad?\quad f(A)\cap f(B)

c) f^{-1}(f(A))\quad?\quad A



a) Korzystając z definicji obrazu w odwzorowaniu f. pokażę, że L=P gdzie L= f(A\cup B) oraz P= f(A)\cup f(B)
zatem:

 <br />\\f(A\cup B) = \left\{ y \in Y : \exists x \in A \cup B\: f(x) = y \right\} <br />\\=
=\left\{ y \in Y : \exists x : \left[ x\in A \vee x\in B\right]\wedge f(x) = y \right\} =
=\left\{y\in Y : \exists x : \left[ \left( x\in A \wedge f(x) = y \right) \vee \left( x\in B \wedge f(x)=y \right) \right] \right\} =
=\left\{ y\in Y : \left[ \exists x \left( x\in A \wedge f(x) = y \right] \vee \left[ \exists x \left( x\in B \wedge f(x) = y \right) \right] \right\} =
=\left\{ y\in Y : \left[ \exists x \left( x\in A \wedge f(x) = y \right) \right] \right\} \cup \left\{ y\in Y : \left[ \exists x \left( x\in B \wedge f(x) = y\right) \right] \right\}=
 = \left\{ y\in Y : \left [\exists x\in A f(x) = y\right} \right\} \cup \left\{ y\in Y : \left[ \exists x \in B f(x) = y \right] \right\} = f(A) \cup f(B)<br />\\


b) Pokażę, że ten wzór będzie wyglądał nastepująco:

f(A \cap B) \subseteq f(A) \cap f(B)

korzystając z definicji

f(A \cap B) = \left\{ y\in Y \exists x \in A \cap B \;f(x)=y \right\} =
= \left\{ y\in Y \exists x: \left[\left( x \in A \wedge x \in B \right) \wedge \; f(x)=y \right] \right\} =
= \left\{ y\in Y \exists x: \left[\left( x \in A \wedge f(x) = y \right) \wedge \left( x\in B \wedge f(x)=y ) \right] \right\} =
= \left\{ y\in Y \left[ \exists x: \left( x \in A \wedge f(x) = y \right) \right] \wedge \left[ \exists x: \left( x \in B \wedge f(x) = y \right) \right]  =
= \left\{ y\in Y  \exists x: \left( x \in A \wedge f(x) = y \right) \right\} \cap \left\{ y\in Y  \exists x: \left( x \in B \wedge f(x) = y \right) \right\}=
= f(A) \cap f(B)


Kontrprzykład:

-> (Tego nie jest za bardzo pewien - prosiłbym o pomoc w tym miejscu)



c)Powyższy wzór będzie wyglądał następująco:

f^{-1}(f(A)) \supseteq A

Skorzystam z def. przeciwobrazu zbioru f(A) w odwzorowaniu f

zatem f^{-1}(f(A)) = \left\{ x \in X : f(x) \in f(A) \right\}

skoro f(x) \in f(A) to z pewnością dla każdego x \in X mamy nastepujące rówanie f^{-1}(f(A)) \supseteq A

-> Kontrprzykład

Niech f : R \rightarrow R oraz f będzie funkcją stałą taką że f(x) = 0 dla każdego x \in R oraz A \subseteq R
zatem f(A) = \left\{ 0 \right\} natomiast f^{-1}( \left\{ 0 \right\} ) = R więc R \neq A
  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55