Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
        STUDIA        

Dowody - granice ciagu



  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
1 odpowiedź w tym temacie

#1 Alice

Alice

    Przeliczalny

  • Użytkownik
  • 38 postów
1
Neutralny
  • Płeć:Kobieta

Napisano 08.02.2014 - 19:54

Własność 1:  Jeżeli dla prawie wszystkich n\in \mathbb{N} zachodzi równość a_n=b_n, to ciąg (b_n) jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy ciąg (a_n) jest zbieżny oraz

\lim_{n\rightarrow \infty}b_n= \lim_{n \rightarrow \infty} a_n

 

Potrzebuję dowodu do tej wlasności ?


Użytkownik Alice edytował ten post 09.02.2014 - 19:10

  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 hmm

hmm

    Operator całkujący

  • VIP
  • 478 postów
312
Instruktor I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 12.02.2014 - 23:14

Co oznacza, że dla prawie wszystkich liczb naturalnych wyrazy ciągów są równe? Oznacza to tyle, że jest tylko skończony zbiór liczb \{n_1,\ldots,n_m\} liczb takich, że a_{n_i}\neq b_{n_i}. Możemy założyć, że elementy tego zbioru zapisałem w kolejności rosnącej, a więc największą liczbą dla której wyrazy są różne jest n_k.

 

A co znaczy, że ciągi (a_n) lub (b_n) są zbieżne? Dla dowolnego \varepsilon ma istnieć N takie, że dla dowolnego n>N |a_n-a|<\varepsilon lub |b_n-b|<\varepsilon (przez a i b oznaczam granice odpowiednich ciągów). Teraz pokażemy, że jeśli jeden z ciągów jest zbieżny, np. (a_n), to ciąg (b_n) też będzie zbieżny do a. Niech \varepsilon>0. Wiemy, że dla wszystkich n większych od pewnej liczby N zachodzi |a_n-a|<\varepsilon. Ale jeśli dodatkowo n>n_k, to b_n=a_n więc mamy, że dla n>N'=\max\{N,n_k\} zachodzi |b_n-a|<\varepsilon. Więc rzeczywiście (b_n) jest zbieżny do a.


  • 0