Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
        STUDIA        

Formy herimitowskie - dla jakich parametrów



  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
6 odpowiedzi w tym temacie

#1 xawery

xawery

    Operator całkujący

  • Użytkownik
  • 374 postów
5
Mały Pomocnik I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 03.02.2014 - 22:34

Dla jakich wartości
a,b,c\in R
Odwzorowanie \psi jest formą hermitowską na R^3
\psi(\vec{x},\vec{y})=2x_1y_1-x_1y_2+x_2y_3-x_3y_1+ax_1y_3+bx_2y_1+cx_3y_2
 
No więc musimy spełniać obydwa warunki formy hermitowskiej.
1szy to liniowość względem 2giej współrzędnej.
Sprawdźmy 2gi:
\psi(\vec{x},\vec{y}) = \overline{\psi(\vec{y},\vec{x})}
No więc, jeśli rozpiszemy, wnioskuję na podstawie, że współczynniki przy tych samych wyrazach muszą być równe, wtedy:
a=b=-1
c=1
 
Powinienem sprawdzić drugi warunek, ale przypuśćmy, że sprawdziłem (bo zachodzi).
 
Naszym zadaniem teraz jest znaleźć macierz tej formy w bazie kanonicznej. No to macierz, będzie wyglądała tak:
 
\begin{bmatrix}<br>\\2&-1&-1\\<br>\\-1&0&1\\<br>\\-1&1&0<br>\\\end{bmatrix}
 
I pytanie, czy ja dobrze tę macierz uzupełniam, bo nie mam pewności, postępuję tak:
Mamy w bazie kanonicznej,
rozważam wyraz ax_iy_j
a to po prostu jakiś współczynnik.
Teraz będę wpisywał a w i-tym wierszu, j-tej kolumnie ?
To jest ok metoda w przypadku gdy jest kanoniczna baza w której mamy tą macierz?
 
 

  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 hmm

hmm

    Operator całkujący

  • VIP
  • 478 postów
312
Instruktor I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 04.02.2014 - 10:04

Generalnie jest dobrze, nie używałbym nazwy "forma hermitowska" w przypadku rzeczywistym ale rozumiem że tak było w zadaniu. No i nie pisałbym sprzężenia.

 

Ogólny fakt jest taki, że jeśli mamy odwzorowanie \psi:\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^n\to\mathbb{R} wyrażające się wzorem:

 

\psi((x_1,\ldots,x_n),(y_1,\ldots,y_n))=\sum_{i=1}^n a_{ij}x_iy_j

 

to wystarczy sprawdzić, czy a_{ij}=a_{ji}. Odwzorowanie tej postaci zawsze jest dwuliniowe, i każde dwuliniowe da się do tej postaci sprowadzić (oczywiście mówimy cały czas o \mathbb{R}^n). Macierz w bazie standardowej to po prostu macierz o współczynnikach a_{ij}, a więc można nawet napisać tą macierz od razu i sprawdzić, czy jest to macierz symetryczna (A=A^T).


  • 0

#3 xawery

xawery

    Operator całkujący

  • Użytkownik
  • 374 postów
5
Mały Pomocnik I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 04.02.2014 - 10:08

Tak, czyli moje podejscie uzupełniania macierzy formy hermitowskiej jest prawidłowe ? Oczywiscie e bazie standardowej mam na myśli.


  • 0

#4 hmm

hmm

    Operator całkujący

  • VIP
  • 478 postów
312
Instruktor I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 04.02.2014 - 10:19

No tak: współczynnik w i-tym wierszu i j-tej kolumnie to a_{ij} czyli to co stoi przed x_iy_j.


  • 1

#5 xawery

xawery

    Operator całkujący

  • Użytkownik
  • 374 postów
5
Mały Pomocnik I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 04.02.2014 - 10:23

Ok, a jeśli chcemy  macierz formy w innej bazie, to wystarczy wziąć w kanonicznej (tą metodą o której piszę) i przemnożyć z lewej macierzą zmiany bazy z tej w której chcemy na kanoniczną.

Tak ?


  • 0

#6 xawery

xawery

    Operator całkujący

  • Użytkownik
  • 374 postów
5
Mały Pomocnik I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 06.02.2014 - 11:51

Powiedzmy, że ktoś każe  nam sprawdzić, czy forma dla otrzymanych a,b,c jest określona dodatnio, czy ujemnie, a może jest nieokreślona ?

 

No więc badając wyznaczniki macierzy:

 

det1 = 2 > 0

det 2 = -1 < 0

 

No widać, ani nie jest dodatnio, ani ujemnnie (Na mocy kryterium Sylwestera)

Ale jak się sprawdza czy jest nieokreślona ? Kryterium Sylwestera nic na ten temat nie mówi.


  • 0

#7 hmm

hmm

    Operator całkujący

  • VIP
  • 478 postów
312
Instruktor I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 07.02.2014 - 10:54

Ok, a jeśli chcemy  macierz formy w innej bazie, to wystarczy wziąć w kanonicznej (tą metodą o której piszę) i przemnożyć z lewej macierzą zmiany bazy z tej w której chcemy na kanoniczną.

Tak ?

Nie.

Raczej P^TMP.

Dlaczego? Jeśli mamy macierz w bazie kanonicznej, to możesz sprawdzić, że wzór formy można zapisać macierzowo jako:

 

\begin{bmatrix}x_1&\ldots&x_n\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a_{11}&\ldots&a_{1n}\\\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&\ldots&a_{nn}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}y_1\\\vdots\\y_n\end{bmatrix}

 

czyli x^TMy. No więc zmiana współczynników y_i w tej innej bazie na współczynniki bazy standardowej to przemnożenie z lewej strony przez macierz przejścia czyli Py. Podobnie musimy użyć Px zamiast x. Ale (Px)^TM(Py)=x^TP^TMPy, czyli macierzą formy w innej bazie jest P^TMP.


  • 1