Pochodna - pojecie to zostało wprowadzone zdefiniowane niezależnie przez dwóch matematyków: I.Newtona i G.W.Leibniza.
Jeśli funkcja f(x) jest określona w pewnym otoczeniu punkty to pochodną funkcji f(x) w punkcie nazywamy granicę ilorazu różnicowego (o ile taka granica istnieje) czyli:
gdzie h jest przyrostem zmiennej niezależnej x (często oznaczane jako )
Graficznie przedstawia to rysunek:
Pamiętajmy ze h dąży 0, dzięki pochodnej dostajemy odpowiedź jak zmieni się wartość funkcji f(x) przy minimalnym przyroście zmiennej x.
Jeśli funkcja posiada pochodną w każdym punkcie swojej dziedziny, to możemy wyznaczyć funkcję g(x) która każdemu elementowi funkcji punktowi dziedziny funkcji f(x) przypisuje wartość pochodnej funkcji f(x) w tym punkcie. Funkcję g(x) nazywamy krótko "pochodną f".
Pochodną oznaczamy na kilka sposobów:
Funkcję dla której istnieje pochodna w danym punkcie nazywamy funkcją różniczkowalną w danym punkcie. Analogicznie jeśli istnieje pochodna danej funkcji na pewnym zbiorze mówimy, że funkcja jest różniczkowalna na tym zbiorze.
WZORY I WŁASNOŚCI
1. Pochodna z iloczynu stałej i funkcji:
2. Pochodna sumy i różnicy dwóch (lub więcej) funkcji:
3.Pochodna Iloczynu:
4. Pochodna Ilorazu:
gdy
5. Pochodna funkcji złożonej:
Jeśli to:
6. Pochodna funkcji odwrotnej:
gdy
7. Pochodna odwrotności funkcji:
Analogicznie jak w przypadku pochodnej ilorazu, za f(x) przyjmujemy 1, wtedy:
gdy
Wzory podstawowych punkcji:
1. Pochodna z funkcji stałej f(x)=a
2.Pochodna z funkcji afinicznej (czasem mylnie nazywanej liniową) y=ax+b
Można także użyć wzoru na pochodną sumy f(x)=ax g(x)=b
3.Pochodna funkcji potęgowej
4. Pochodna wielomianu
Dzielimy wielomian na jednomiany (sumę funkcji potęgowych) i do każdej stosujemy powyższy wzór.
5. Pochodna z funkcji
Można także użyć wzoru na pochodną funkcji potęgowej
6. Pochodna z funkcji
7. Pochodna z funkcji wykładniczej
Teraz zastosować należy podstawienie:
skoro to oczywiście
A dalej liczymy tak:
Jako szczególny przypadek funkcji wykładniczej - niezwykle ważna funkcja:
8. Pochodna funkcji logarytmicznej
Jaki szczególny przypadek funkcji logarytmicznej
9. Pochodne funkcji trygonometrycznych:
Sinusa f(x)= sin(x)
Cosinusa f(x)= cos(x)
Tangensa
Cotangensa
10. Pochodne funkcji cyklometrycznych (bez wyprowadzania)
Arkus sinus f(x)=arcsin(x)
Arkus cosinus f(x)=arccos(x)
Arkus tangens f(x)=arctan(x)
Arkus cotangens f(x)=arccot(x)
Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 31.12.2013 - 00:07