Całkowanie przez podstawienie wykorzystujemy gdy funkcja podcałkowa jest funkcją złożoną oraz w przypadku pewnych specyficznych funkcji w celu ułatwienia sobie całkowania. Jednak chyba najczęstszym zostawaniem całkowanie przez podstawienie jest sytuacja gdy wyrażenie podcałkowe jest iloczynem pewnej funkcji i pochodnej tej funkcji (lub prawie pochodnej tej funkcji).
Założenia:
- Niech g(x) jest różniczkowalna w przedziale D
- Niech przedział K =g(D)
- Niech funkcja f(x) ma pierwotną w przedziale K. Czyli, że istnieje taka funkcja F'(v)=f(v), gdzie
- Oraz niech h(x)=f(g(x))\cdot g'(x) dla x\in D wtedy:
Wiem zagmatwane trochę, ale to teoria. Dodam jeszcze, że można zamienić na .
Może zatem zanim przejdziemy do dowodu zaczepimy o pochodną funkcji złożonej ściśle związanej z omawianą całką.
Jak pamiętamy pochodna funkcji to granica pewnego ilorazu różnicowego:
Jeśli oraz to:
to tak zwana reguła łańcuchowa w notacji Leibniza - to tak na marginesie.
Reasumując
Jeśli
To teraz dowód całkowania przez podstawienie
Niech F będzie funkcją pierwotną funkcji f. Jeśli funkcję F złożymy z funkcją g to jest, gdy h(x)=F(g(x)) to zgodnie z definicją pochodnej funkcji złożonej mamy
Jeśli teraz obłożymy to całką dostaniemy (analizując od końca)
Czyli:
W praktyce robi się to np. tak:
Przykład 1
Widzimy ze funkcja sinus jest złożona z funkcją 2x+3, jeśli spojrzymy na wzór zauważymy ze brakuje nam pochodnej funkcji wewnętrznej czyli (2x+3)'=2. Możemy pomnożyć funkcję podcałkową przez liczbę, pamiętając że trzeba całą całkę przez tą liczbę podzielić aby zachować róność
Teraz mamy przygotowaną całkę do podstawienia:
t=2x+3 więc dt=2dx zatem:
Przykład 2
Od razu ciężko stwierdzić jak obliczyć taką całkę. Właściwie nie ma tu złożenia, nie ma iloczynu funkcji, ale przypomnijmy, że
teraz podstawiamy t=cos(x) dt=-sin(x) więc
Przykład 3
Na koniec może ciekawy przykład w którym możemy zastosować trzy różne podstawienia i finalnie uzyskać trzy "różne" funkcje.
1. podstawiając t=sin(x) dt=cos(x)dx mamy
2. podstawiając t=cos(x) dt=-sin(x)dx mamy
3. pamiętając że mamy teraz podstawiając t=2x dt=2dx mamy:
To oczywiście złudzenie, że funkcję są różne. Dzięki wzorom trygonometrycznym można dowieść że różnią się tylko o stałą, a pamiętajmy, że całka nieoznaczona to rodzina funkcji pierwotnych (różniąca się o stałą).