Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie

zbieżność szeregu potęgowego

PODSTAWÓWKA

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
1 odpowiedź w tym temacie

#1 kasiaggg

kasiaggg

    Nowicjusz

  • Użytkownik
  • 1 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Kobieta

Napisano 13.06.2013 - 19:35


Witam, bardzo proszę o pomoc w rozwiązaniu poniższego zadania. Z góry dziękuję icon_smile.gif
Wyznacz przedział zbieżności szeregu potęgowego. Załączam zdjęcie zadania
 
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x+\pi)^n}{n^2}

 

Załączone miniatury

  • zdjecie.jpg

  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 KajteK610

KajteK610

    Druga pochodna

  • ^Przyjaciele
  • 107 postów
63
Mały Pomocnik II
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 26.06.2013 - 18:15

Od razu mówię, że bardzo bym prosił, aby to ktoś jeszcze sprawdził, bo nie jestem w 100% pewny tego co zaraz napiszę  :shifty:

 

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x+\pi)^n}{n^2}

 

Teraz weźmiemy sobie kryterium Cauchy'ego.

 

\lim_{n\to\infty} \sqrt[n] {\frac{|(x+\pi)^n|}{n^2}} i to zbieżne \Leftrightarrow\lim_{x\to\infty} f(x) < 1, dla równych 1 wątpliwe.

 

\lim_{n\to\infty} {\sqrt[n] {n^2}=1, przedział zbieżności będzie wynikiem nie równości |x + \pi | < 1\Rightarrow x\in(-1 -\pi ; 1 - \pi ) 

 

Teraz zostało tylko sprawdzić końce przedziału(\lim_{n\to\infty} f(n) =1)

 

1) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^2} - zbieżny

2) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(1)^n}{n^2} - zbieżny 

 

To w ostateczności daje nam rozwiązanie x\in \left\langle -1-\pi;1-\pi \right\rangle

 

Pozdrawiam \mathfrak{K}


Użytkownik KajteK610 edytował ten post 26.06.2013 - 19:05

  • 0
Klikając Dołączona grafika mówisz dziękuje.

"Nie przejmuj się, jeżeli masz problemy z matematyka. Zapewniam Cię, że ja mam jeszcze większe."
~Albert Einstein





Tematy podobne do: zbieżność szeregu potęgowego     x