Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
* * * * * 3 głosy

Prędkość


  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
Brak odpowiedzi do tego tematu

#1 Tomalla

Tomalla

    =-.-= Spatter Guy =-.-=

  • $Jr Admin
  • Redaktor
  • 3211 postów
1037
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 16.05.2009 - 15:08

= = Prędkość = =
Na pewno każdy spotkał się z wielkością zwaną prędkością. Oznacza się ją przez duże V ( z ang. velocity ) i określa z jaką szybkością porusza się dane ciało.

Ruch, ze względu na prędkość, można podzielić na następujące rodzaje:

  1. Ruch jednostajny ( prędkość danego ciała jest stała - V=const. )
  2. Ruch zmienny ( prędkość danego ciała się zmienia - V\not=const. )
    1. Ruch jednostajnie zmienny
      • Ruch jednostajnie przyspieszony
      • Ruch jednostajnie opóźniony

    2. Ruch niejednostajny
W skrócie:
  • ruch jednostajny jest w momencie, gdy prędkość ciała jest stała ( nie zmienia się ),
  • ruch zmienny jest w momencie, gdy prędkość ciała nie jest stała ( zmienia się ).
  • z ruchem jednostajnie zmiennym mamy do czynienia, gdy prędkość ciała wzrasta ( lub maleje ) o stałą wartość na określoną jednostkę czasu ( tzn. ma stałe przyspieszenie ).
  • ruch niejednostajny jest wtedy, kiedy przyspieszenie danego ciała nie jest stałe.
Ruch można także podzielić ze względu na kształt toru, po którym się porusza. Wyróżniamy ruch:

  1. Prostoliniowy ( tor ruchu to prosta )
  2. Krzywoliniowy
    • ruch po okręgu
W ruchu jednostajnym prędkość dana jest wzorem:

\re\fbox{V=\frac{s}{t}\qquad\[\frac{m}{s}\]}

s jest to przebyta droga, t natomiast określa czas w jakim droga została pokonana. Podstawową jednostką wyrażającą drogę jest metr ( m ), a podstawową jednostką czasu jest sekunda ( co nie oznacza oczywiście, że nie ma innych, np. kilometr, czy godzina; te jednak są podstawowe i należy się ich trzymać ). Łatwo można zauważyć, że jednostką określającą prędkość jest metr na sekundę ( \frac{m}{s} ), dosłownie informując nas, ile metrów dane ciało przebywa w ciągu jednej sekundy.


Zamiana jednostek


Otóż, jeżeli mamy daną prędkość w metrach na sekundę, co trzeba zrobić, by wyrazić ją w na przykład kilometrach na godzinę? Poniżej jest kilka przykładów:

\frac{km}{h}=\frac{1000m}{3600s}=\frac{5}{18}\quad\frac{m}{s}

\frac{m}{s}=\frac{\frac{km}{1000}}{\frac{h}{3600}}=\frac{km}{1000}\cdot\frac{3600}{h}=\frac{18}{5}\quad\frac{km}{h}

Ogólna idea jest następująca: wszystkie jednostki zamieniamy wedle naszego upodobania, zachowując jednocześnie odpowiednie stosunki pomiędzy nimi ( tzn. trzeba pamiętać że minuta to 60 sekund, że kilometr to 1000 metrów itd. ). Teraz może jeszcze kilka innych przykładów:

5\frac{km}{min}=5\cdot60\frac{km}{h}=300\frac{km}{h}

... innymi słowy: jeśli na 1 minutę przebywasz 5 km, to oczywiste że w ciągu jednej godziny, czyli 60 minut przebędziesz 60 razy więcej kilometrów, czyli 300 km. W takich wypadkach jak ten, nie warto obliczać tego na piechotę tak jak w poprzednich przykładach.

W wielu zadaniach będziesz spotykał się z następującymi przypadkami, które warto zapamiętać:

\fbox{36\frac{km}{h}=10\frac{m}{s}\\54\frac{km}{h}=15\frac{m}{s}\\72\frac{km}{h}=20\frac{m}{s}}\bl



Wielu ludzi ma problemy z tym zagadnieniem i kłopoty z obliczeniem średniej prędkości z danych. Istotą prędkości średniej jest podzielenie całej pokonanej drogi przez czas, w którym ta droga została pokonana. Rozważmy sobie taki przykład:

Zadanie:
Rowerzysta podczas pierwszych 30 minut przejechał 18 kilometrów. Następnie w 15 minut przejechał 4,5 kilometra. Oblicz średnią prędkość rowerzysty na całej trasie.
Rozwiązanie:
Zgodnie z ogólną uwagą powyżej mamy:

\bl V_{sr.}=\frac{s_1+s_2}{t_1+t_2}=\frac{18+4,5}{30+15}=\frac{1}{2}\quad\[\frac{km}{min}\]=\re30\quad\[\frac{km}{h}\]
Odpowiedź: Rowerzysta poruszał się ze średnią prędkością \re30\quad\[\frac{km}{h}\].

Nic trudnego tutaj nie było. Trzeba jednak pamiętać o jednostkach! Dane to były minuty oraz kilometry, wobec tego po dodaniu odpowiednich danych i podzieleniu będziesz miał km/min! Takiego wyniku nie można zostawić - wynik należy zamienić najlepiej na m/s lub km/h. W przykładzie powyżej zamieniłem na km/h i wyszedł nawet ładny wynik ;) .

Zadanie:
Jedzie sobie ktoś na motorowerze. Pierwsze 60 metrów przebył z prędkością 10\frac{m}{s}, następnie przejechał 45 metrów z prędkością 15\frac{m}{s}. Oblicz prędkość średnią rowerzysty na tej trasie.
Rozwiązanie:
Niektórzy dodaliby 10+15 i podzielili na 2 ... oczywiście, takie rozumowanie jest błędne. Mamy dwa "etapy". W pierwszym rowerzysta pokonał 60 metrów z prędkością 10m/s, obliczmy w takim razie czas, w jakim te 60 metrów pokonał. W związku z tym, że mamy dane: prędkość oraz drogę, z łatwością można wyznaczyć czas, a mianowicie:

V=\frac{s}{t}\quad|\cdot t\qquad\Rightarrow\qquad V\cdot t=s\quad| :V\qquad\Rightarrow\qquad\re t=\frac{s}{V} \text{         }\[\frac{m}{\frac{m}{s}}=m\cdot\frac{s}{m}=s\]

Podstawiając dane V=10\frac{m}{s} oraz s=60m otrzymujemy:

t=\frac{60}{10}=6\quad\[s\]

To samo zróbmy z drugim etapem, mając dane V=15\frac{m}{s} oraz s=45m:

t=\frac{45}{15}=3\quad\[s\]

Wiedząc, że prędkość średnia jest to cała droga podzielona przez czas całej jazdy, mamy:

\bl V_{sr.}=\frac{s_1+s_2}{t_1+t_2}=\frac{60+45}{6+3}=\frac{35}{3}=\re11\frac{2}{3}\quad\[\frac{m}{s}\]

Odpowiedź: Rowerzysta na całej trasie jechał ze średnią prędkością \re11\frac{2}{3}\quad\frac{m}{s}.


Prędkość względna

Prędkość jest względna. Co to znaczy? Wyobraźmy sobie, że siedzisz sobie w pociągu i czytasz gazetę. Z jaką prędkością się wobec tego poruszasz? Odpowiedzi może być wiele; zależy to bowiem od tego względem czego obierzemy tą prędkość. Względem pasażera który siedzi obok nie poruszamy się wcale. Względem drzewa, które widzisz za oknem, poruszasz się prędkością równą prędkości pociągu. Można wybrać nieskończenie wiele punktów odniesienia, względem których nasza prędkość będzie różna. Z tą "własnością" prędkości jest związanych parę zadań, poniżej jest przykładowe:

Zadanie:
Po dwóch równoległych torach poruszają się pociągi z prędkościami 60\frac{km}{h} oraz 80\frac{km}{h}. Oblicz prędkość względną pociągów, gdy poruszają się one:
a) w przeciwne strony;
b) w tą samą stronę.
Rozwiązanie:
Takie zadanie można łatwo zobrazować: wyobraź sobie, że siedzisz sobie w środku jednego z pociągów i patrzysz przez okno na drugi. Jeżeli pociągi poruszają się w przeciwnych kierunkach, to masz wrażenie, że drugi pociąg porusza się bardzo szybko. Gdy natomiast pociągi poruszają się w tym samym kierunku wrażenie jest przeciwne - że poruszają się bardzo wolno. Te prędkości względne można łatwo uzyskać obliczając odpowiednio sumę prędkości dwóch pociągów oraz różnicę między tymi prędkościami. Tak więc:
a) V_{wz.}=80+60=140\quad\[\frac{km}{h}\]
b) V_{wz.}=80-60=20\quad\[\frac{km}{h}\]
Odpowiedź: Prędkość względna wynosiła: a) \re140\quad\[\frac{km}{h}\]\text{         } b) \re20\quad\[\frac{km}{h}\]

Ogólnie rzecz biorąc, w każdym z tych wypadków mamy obrany układ odniesienia, czyli ciało lub zespół ciał, które uważamy za pozostające w spoczynku. Umożliwia nam obranie właściwej prędkości. W zadaniu powyżej, kiedy szukaliśmy prędkości względnej układem odniesienia był jeden z pociągów. Natomiast, kiedy mówimy, że dany pociąg jechał z prędkością np. 60\frac{km}{h} układem odniesienia było otoczenie - ziemia, drzewa, tory itd.



Prędkość jako wielkość wektorowa


Prędkość jest wielkością wektorową. Oznacza to, że można w niej wyróżnić wszystkie 4 cechy wektora, a mianowicie punkt zaczepienia, kierunek, zwrot oraz wartość. Uwzględniając wszystkie wektory wzór prędkości można przedstawić następująco:

\fbox{\vec{V}=\frac{\vec{\Delta r}}{\Delta t}\re}

... gdzie \vec{\Delta r} to wektor przemieszczenia, a \Delta t to zmiana czasu. Otóż, wektor przemieszczenia informuje nas, gdzie ciało znalazło się po wykonaniu tego ruchu w stosunku do miejsca, w którym ruch rozpoczął. Wektor przemieszczenia jest to więc prosty odcinek łączący miejsce rozpoczęcia i zakończenia ruchu. W ruchu prostoliniowym \Delta r=\Delta  s, czyli wektor przemieszczenia pokrywa się z drogą którą ciało przebyło.




Ruch po okręgu to ruch, którego torem jest okrąg. Kierunek wektora prędkości zmienia się, a sam wektor prędkości jest w każdym punkcie styczny do okręgu. Z ruchem po okręgu jest związanych kilka wielkości, a mianowicie:

  1. Okres oznacza się literą T. Określa czas, jaki ciało potrzebuje na wykonanie jednego pełnego okrążenia. Dany jest wzorem: T=\frac{t}{n}\quad\[s\], gdzie n jest to ilość okrążeń wykonanych w czasie t. Okres wyrażany jest w sekundach.
  2. Częstotliwość oznacza się literą f. Informuje nas, ile okrążeń ciało wykonało w danym czasie. Dana jest wzorem: f=\frac{n}{t}\quad\[\frac{1}{s}=Hz\], oznaczenia zmiennych są identyczne co w przypadku okresu. Jednostką tutaj jest jeden herc: \frac{1}{s}=Hz\re.
Dość szybko można zauważyć, że \fbox{T=\frac{1}{f}}.

Prędkość w ruchu jednostajnym po okręgu dana jest wzorem:

\re\fbox{V=\frac{2\pi r}{T}=2\pi r\cdot f}

... gdzie r to promień okręgu, T to okres poruszania się ciała, a f to częstotliwość.


  • 0
________
Nie rozwiązuję zadań poprzez PMy!
Nie zaśmiecać mi skrzynki odbiorczej wiadomościami typu "pomóż mi w następnym zadaniu" etc.
Tego typu wiadomości będę po prostu ignorował i od razu usuwał.


=-.-= ToMaLlA - General Modder in games with QuaKe 3 and DooM III EnGiNes =-.-=

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55





Tematy podobne do: Prędkość     x