Oto leciutka modyfikacja zadania 1 z Rosyjskiej Olimpiady AD 99, które jest dla mnie niezwykle ciekawe!
1. Napisz dowolną liczbę o następujących 2 własnościach:
- każda następna napisana cyfra jest nie mniejsza od poprzedniej
- ostatnia cyfra jest większa od przedostatniej
2. Pomnóż ją przez 9
3. Policz sumę jej cyfr. Wyszło 9!
Przykład liczby: 3334446789
Pomnożone przez dziewięć: 30010021101
Suma cyfr: 9
Sprawdź sam i udowodnij, dlaczego tak jest.
Zadanie 1 - matura Rosyjska'99
Rozpoczęty przez Matofil, Dec 02 2007 22:07
3 odpowiedzi w tym temacie
#1
Napisano 02.12.2007 - 22:07
Napisano 25.09.2011 - 17:55
#2
Napisano 03.12.2007 - 00:48
Mhm... no to dowód taki na łapu capu.
Oznaczmy sobie kolejne cyfry liczby przez
gdzie
- tyleż cyfr
Przez oznaczmy nowy ciąg, po przemnożeniu przez
Przez oznaczmy cyfrę przenoszoną przy mnożeniu przez do -go wiersza z wiersza -tego
Idziemy tak, od ostatniej cyfry, mnożymy ją przez ... co znaczy, że dostaniemy
.
Najpierw :
.
Przenosimy też, jak poprzednio
jest równe wielkości spadku
Aż dochodzimy do pięknego
mamy
Hm... koszmarnie to wygląda, jeśli jest niezrozumiałe, mogę inaczej
edycja: składnia
Oznaczmy sobie kolejne cyfry liczby przez
gdzie
- tyleż cyfr
Przez oznaczmy nowy ciąg, po przemnożeniu przez
Przez oznaczmy cyfrę przenoszoną przy mnożeniu przez do -go wiersza z wiersza -tego
Idziemy tak, od ostatniej cyfry, mnożymy ją przez ... co znaczy, że dostaniemy
.
Najpierw :
.
Przenosimy też, jak poprzednio
jest równe wielkości spadku
Aż dochodzimy do pięknego
mamy
Hm... koszmarnie to wygląda, jeśli jest niezrozumiałe, mogę inaczej
edycja: składnia
#3
Napisano 03.12.2007 - 12:57
Dowód O.K. ale chyba prościej zacząć tak:
Czyli nasza liczba powstaje po odjęciu liczb:
Analizując pisemne odejmowanie dostajemy na kolejnych pozycjach:
: -1 bo "pożyczyliśmy" jedynkę
: tu już nie trzeba "pożyczać"
....
: górna liczba jest o 1 dłuższa
Jak wysumujemy cyfry, dostaniemy to co napisałeś w ostatniej linijce
P.S. Gdyby ostatnia cyfra była równa przedostatniej, wtedy w dowodzie konieczne byłoby dalsze "pożyczanie", w konsekwencji cały dowód się sypie a własność przestaje obowiązywać...
Czyli nasza liczba powstaje po odjęciu liczb:
Analizując pisemne odejmowanie dostajemy na kolejnych pozycjach:
: -1 bo "pożyczyliśmy" jedynkę
: tu już nie trzeba "pożyczać"
....
: górna liczba jest o 1 dłuższa
Jak wysumujemy cyfry, dostaniemy to co napisałeś w ostatniej linijce
P.S. Gdyby ostatnia cyfra była równa przedostatniej, wtedy w dowodzie konieczne byłoby dalsze "pożyczanie", w konsekwencji cały dowód się sypie a własność przestaje obowiązywać...
#4
Napisano 03.12.2007 - 20:28
Tak, dużo prościej... aż mi głupio .