Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie

Zadanie 1 - matura Rosyjska'99


  • Zamknięty Temat jest zamknięty
3 odpowiedzi w tym temacie

#1 Matofil

Matofil

    Pierwsza pochodna

  • VIP
  • 98 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 02.12.2007 - 22:07

Oto leciutka modyfikacja zadania 1 z Rosyjskiej Olimpiady AD 99, które jest dla mnie niezwykle ciekawe!

1. Napisz dowolną liczbę o następujących 2 własnościach:
- każda następna napisana cyfra jest nie mniejsza od poprzedniej
- ostatnia cyfra jest większa od przedostatniej
2. Pomnóż ją przez 9
3. Policz sumę jej cyfr. Wyszło 9!

Przykład liczby: 3334446789
Pomnożone przez dziewięć: 30010021101
Suma cyfr: 9

Sprawdź sam i udowodnij, dlaczego tak jest.
  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 regalia

regalia

    Ułamek

  • Użytkownik
  • 11 postów
0
Neutralny

Napisano 03.12.2007 - 00:48

Mhm... no to dowód taki na łapu capu.

Oznaczmy sobie kolejne cyfry liczby przez
a_n
gdzie
N - tyleż cyfr

Przez b_n oznaczmy nowy ciąg, po przemnożeniu przez 9
Przez c_n oznaczmy cyfrę przenoszoną przy mnożeniu przez 9 do n-1-go wiersza z wiersza n-tego

Idziemy tak, od ostatniej cyfry, mnożymy ją przez 9... co znaczy, że dostaniemy

9.
Najpierw b_{N-1}:
1.
Przenosimy też, jak poprzednio
an
b_n jest równe wielkości spadku

Aż dochodzimy do pięknego
bn mamy
(10 - a_N) + (a_N - a_{N-1} - 1) + (a_{N-1} - a_{N-2}) + ... + (a_n - a_{n-1}) + ... + (a_1 - a_0) = 10 - 1 = 9

Hm... koszmarnie to wygląda, jeśli jest niezrozumiałe, mogę inaczej :)

edycja: składnia
  • 0

#3 Matofil

Matofil

    Pierwsza pochodna

  • VIP
  • 98 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 03.12.2007 - 12:57

Dowód O.K. ale chyba prościej zacząć tak:

9 a_1a_2a_3 ... a_n = (10-1)a_1 a_2 a_3 ... a_n
Czyli nasza liczba powstaje po odjęciu liczb:
a_1a_2a_3 ... a_n 0 - a_1 a_2 ... a_n
Analizując pisemne odejmowanie dostajemy na kolejnych pozycjach:
( 0 - a_n ) \mbox{ czyli } 10 - a_n
 a_{n} - a_{n-1} - 1 : -1 bo "pożyczyliśmy" jedynkę
 a_{n-1} - a_{n-2} : tu już nie trzeba "pożyczać"
....
 a_2 - a_1
 a_1 : górna liczba jest o 1 dłuższa

Jak wysumujemy cyfry, dostaniemy to co napisałeś w ostatniej linijce :)

P.S. Gdyby ostatnia cyfra była równa przedostatniej, wtedy w dowodzie konieczne byłoby dalsze "pożyczanie", w konsekwencji cały dowód się sypie a własność przestaje obowiązywać...
  • 0

#4 regalia

regalia

    Ułamek

  • Użytkownik
  • 11 postów
0
Neutralny

Napisano 03.12.2007 - 20:28

Tak, dużo prościej... aż mi głupio :).
  • 0