Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
        STUDIA        

Lewostronna odwrotność macierzy prostokątnej

Macierze

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
1 odpowiedź w tym temacie

#1 młodzian

młodzian

    Druga pochodna

  • VIP
  • 133 postów
33
Mały Pomocnik II
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 18.02.2015 - 22:05

Niech dana będzie macierz prostokątna A_{n \times m}, m<n. Pokazać, że istnieje jej lewostronna odwrotność A^{-1}_{m \times n}, taka że 

A^{-1}A=I,

wtedy i tylko wtedy, gdy rankA=m.


Użytkownik młodzian edytował ten post 21.02.2015 - 20:20

  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 młodzian

młodzian

    Druga pochodna

  • VIP
  • 133 postów
33
Mały Pomocnik II
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 22.02.2015 - 11:22

Niech dana będzie macierz prostokątna A_{n \times m}, m<n. Pokazać, że istnieje jej lewostronna odwrotność A^{-1}_{m \times n}, taka że 

A^{-1}A=I,

wtedy i tylko wtedy, gdy rankA=m.

Zauważmy, że jeśli macierz A^{T}A jest odwracalna, to

\underbrace{(A^{T}A)^{-1}A^T}_{A^{-1}}A=I.

 Stąd, jeśli detA^{T}A\neq 0, to istnieje lewostronna odwrotność macierzy A. Wystarczy więc udowodnić, że jeśli \operatorname{rank}A=m, to detA^{T}A\neq 0. W tym celu pokażemy, że jądra A oraz A^T A są równe  \operatorname{ker}(A)=\operatorname{ker}(A^{T}A).
Ponieważ \operatorname{rank}A=m, to kolumny macierzy A są liniowo niezależne, zatem \operatorname{ker}(A)=\overrightarrow{0}. Załóżmy, że a \in \operatorname{ker}(A^{T}A), wtedy


A^{T}Aa=\overrightarrow{0} \leftrightarrow a^TA^{T}Aa=0 \leftrightarrow \|Aa\|^2=0 \Rightarrow Aa=\overrightarrow{0},

zatem a \in \operatorname{ker}(A), a ponieważ \operatorname{ker}(A)= \overrightarrow{0}, więc \operatorname{ker}(A^{T}A) = \operatorname{ker}(A)= \overrightarrow{0}. Stąd, kolumny macierzy kwadratowej A^{T}A są liniowo niezależne oraz detA^{T}A\neq 0.


  • 0