Zacznę może do twierdzenia - roboczo oznaczmy tw. (Twierdzenie o pochodnej funkcji odwrotnej)
Jeśli funkcja posiada funkcję odwrotną , oraz w pewnym punkcie posiada skończoną pochodną, różną od zera - istnieje i , to wtedy w odpowiadającym punktowi punktowi istnieje pochodna funkcji odwrotnej i jej wartość w punkcie równa się
Dla rozjaśnienia może wykonajmy kilka konkretnych przykładów (poprzednio niewyprowadzanych) - patrz http://matma4u.pl/to...i-podstawowe-1/ punkt 10.
Przykład 1.
- funkcja do niej odwrotna istnieje i ma postać
- pochodna tej funkcji (pochodna funkcji odwrotnej) ma postać
I teraz zgodnie z twierdzeniem wartość pochodnej z funkcji odwrotnej w punkcie równa jest odwrotności wartości pochodnej z funkcji w punkcie czyli:
Czyli
Teraz mnożymy na krzyż i przekształcamy
Teraz wykorzystując jednostkę trygonometryczną mamy
Ale przecież a zatem
(złożenie funkcji i funkcji odwrotnej w danym punkcje daje nam ten punkt)
Bacząc na ten fakt mamy
Równość ta jest prawdziwa dla każdego należącego do dziedziny, zatem
Podobne rozważania można poczynić w stosunku do pozostałych funkcji cyklometrycznych a właściwie do każdej funkcji posiadającej funkcję odwrotną.
np.
Funkcja ta posiada funkcję odwrotną i ma ona postać (krótko )
Teraz może weźmy konkretny np. . Wiemy z http://matma4u.pl/to...i-podstawowe-1/ punkt 7, że , a dla mamy
Odpowiadający punktowi punkt ma wartość 1000
i teraz pochodna funkcji odwrotnej
istnieje a jej wartość w punkcie wynosi
Jest ona równa
Czyli lewa strona równa jest prawej.
--------------------------
DOWÓD twierdzenia
Dowód przeprowadzę w oparciu o interpretację geometryczną pochodnej funkcji w punkcie.
Wartość pochodnej funkcji w punkcie jest to tangens nachylenia stycznej do wykresu funkcji w tym punkcie - co chyba było omówione w poście http://matma4u.pl/to...i-podstawowe-1/ (a jeśli nie no to cóż ;-) wynika z interpretacji ilorazu różnicowego) co zresztą odzwierciedla obrazek powyżej.
Czyli
Teraz uwaga: Wykres funkcji odwrotnej do można przedstawić na tym samym wykresie , ale należny pamiętać, że czyta się go âna odwrótâ â tzn. jakby argumentom y przyporządkowujemy wartości (a więc przyrostem argumentów funkcji odwrotnej jest a przyrostem odpowiadających jej wartości jest . Czyli kąt odpowiadający kątowi nachylenia stycznej do funkcji odwrotnej miałby miarę jak na rysunku poniżej
Wartość pochodnej funkcji odwrotnej w punkcie jest równa więc wartość pochodnej z funkcji i wartość pochodnej jej funkcji odwrotnej to tangensy kątów w tym samym trójkącie prostokątnym.
Wykorzystując zależność mamy co oznacza, że
czyli co należało dowieść
Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 02.09.2014 - 16:13