Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie

Sprawdzanie czy funkcja jest "na". czy jest 1-1

STUDIA

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
1 odpowiedź w tym temacie

#1 xawery

xawery

    Operator całkujący

  • Użytkownik
  • 374 postów
5
Mały Pomocnik I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 24.11.2013 - 17:11

Witam,

Chciałbym założyć taki wątek, w którym będę różne zadania tego typu analizował.

Z góry dziękuję wszystkim za pomoc.

 

Na początek może coś takiego:

Niech C_{X,Y} : (X \rightarrow Y) \rightarrow (P(Y)\rightarrow P(X))dana będzie wzorem:
C_X,Y(f) (A) = f^{-1}(A)

gdzie f : X \rightarrow Y i A \subseteq Y
a) czy funkcja C_{X,Y} jest róznowartościowa ?
b) Jeśli f: X\rightarrow Y jest 1-1 to czy C_{X,Y}(f) jest "na"?
c) jeśli f: X \rightarrow Y jest "na" to czy C_{X,Y}(f) jest 1-1 ?
 

a) Czy jest różnowartościowa. Chodzi o funkcję C_{X,Y}. Więc jeśli jest różnowartościowa, to weźmy dowolne

    f i g, takie, że f \neq g. Istnieje wtedy x, taki, że f(x) \neq g(x)

   Wobec tego rozpiszmy:

C_X,Y(f) ({f(x)}) = f^{-1}({f(x)}) = { x \in X : f(x) \in {f(x)}} = { x \in X : f(x) = f(x) } = X (caly \ zbior\ X)

C_X,Y(g) ({g(x)}) = f^{-1}({f(x)}) = { x \in X : g(x) \in {f(x)}} = { x \in X : g(x) = f(x) } = \emptyset

 

Nie wiem czy dobrze, ale roibę jak potrafię.

w b i c powiem na czym nie mogę przejść dalej.

 

b) Ok, chcemy pokazać, że każdy podzbiór z P(X) można osiągnąć przy pomocy funkcji f, oraz podzbioru P(Y).

Wiem co chcemy pokazać, ale nie wiem jak to pokazać.

 

c) na to zupełnie nie mam pomysłu.


Użytkownik xawery edytował ten post 24.11.2013 - 17:12

  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 hmm

hmm

    Operator całkujący

  • VIP
  • 478 postów
312
Instruktor I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 09.12.2013 - 17:04

Czy jest różnowartościowa. Chodzi o funkcję C_{X,Y}. Więc jeśli jest różnowartościowa, to weźmy dowolne
    f i g, takie, że f \neq g. Istnieje wtedy x, taki, że f(x) \neq g(x)
   Wobec tego rozpiszmy:
C_X,Y(f) ({f(x)}) = f^{-1}({f(x)}) = { x \in X : f(x) \in {f(x)}} = { x \in X : f(x) = f(x) } = X (caly \ zbior\ X)
C_X,Y(g) ({g(x)}) = f^{-1}({f(x)}) = { x \in X : g(x) \in {f(x)}} = { x \in X : g(x) = f(x) } = \emptyset

Po pierwsze uwaga techniczna: nawias klamrowy uzyskasz przez \{ i \}.
Poprawię to co chciałeś napisać. Istnieje x_0 t. że f(x_0)\neq g(x_0).

C_{X,Y}(f) (\{f(x_0)\}) = f^{-1}(\{f(x_0)\}) = \{ x \in X : f(x) \in \{f(x_0)\}\} = \{ x \in X : f(x) = f(x_0) \}
 
C_{X,Y}(g) (\{f(x_0)\}) = g^{-1}(\{f(x_0)\}) = \{ x \in X : g(x) \in \{f(x_0)\}\} = \{ x \in X : g(x) = f(x_0) \}
 
I teraz: x_0\in C_{X,Y)(f)(\{f(x_0)\}) ale x_0\not\in C_{X,Y}(g)(\{f(x_0)\}),  co znaczy, że C_{X,Y}(f)\neq C_{X,Y}(g).

 

 

b) Jeśli f: X\rightarrow Y jest 1-1 to czy C_{X,Y}(f) jest "na"?

 

Ok, chcemy pokazać, że każdy podzbiór z P(X) można osiągnąć przy pomocy funkcji f, oraz podzbioru P(Y).

Wiem co chcemy pokazać, ale nie wiem jak to pokazać.

Czyli patrząc na to jak określona jest funkcja, czy dla każdego A\subset X istnieje B\subset Y takie, że f^{-1}(B)=A? Jeśli funkcja jest różnowartościowa, to f^{-1}(f(A))=A, więc B=f(A).

 

 

c) jeśli f: X \rightarrow Y jest "na" to czy C_{X,Y}(f) jest 1-1 

Czy f^{-1}(A)\neq f^{-1}(B) dla dowolnych A\neq B\subset Y? Ponieważ A\neq B, to istnieje y\in A\setminus B. Ponieważ f jest "na", to istnieje x\in X taki, że f(x)=y. Czyli x\in f^{-1}(A)\setminus f^{-1}(B). A to znaczy, że przeciwobrazy zbiorów A i B są różnymi zbiorami, czyli C_{X,Y}(f) jest różnowartościowa.


  • 0