Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
        STUDIA        

Przestrzeń prosto spójna, ścieżki



  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
1 odpowiedź w tym temacie

#1 ksd22

ksd22

    Druga pochodna

  • Użytkownik
  • 109 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Kobieta

Napisano 22.01.2014 - 18:55

Wykazać, że w przestrzeni prosto spójnej każde dwie ścieżki są homotopijne.


  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 hmm

hmm

    Operator całkujący

  • VIP
  • 478 postów
312
Instruktor I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 24.01.2014 - 22:47

Simply connected space to w języku polskim przestrzeń jednospójna.

 

Mamy dwie drogi: \tau:I\to X oraz \sigma:I\to X takie, że \tau(0)=\sigma(0) oraz \tau(1)=\sigma(1). Niech (\tau\sigma^{-1}) oznacza pętlę w \tau(0) określoną wzorem:

(\tau\sigma^{-1})(t)=\{\tau(2t)\textrm{ gdy }t\leq\frac{1}{2}\\\sigma(2-2t)\textrm{ w przeciwnym wypadku}

(po prostu najpierw poruszamy się po drodze \tau, a potem wracamy po drodze \sigma tyle że w odwrotnym kierunku). Ta pętla jest homotopijna z pętlą trywialną, więc istnieje H:I^2\to X takie, że H(t,0)=\tau(0)H(t,1)=(\tau\sigma^{-1})(t). Teraz mówiąc obrazowo, musimy przekroić kwadrat w połowie (pionowo) zostawiając punkt na dole i obrócić prawą część wokół zostawionego punktu tak, żeby dwie połowy podstawy zetknęły się ze sobą. Po przeskalowaniu prostokąta otrzymamy kwadrat w którym u góry jest \tau a na dole \sigma. Formalnie:

 

H'(t,s)=\{H\(\frac{t}{2},2s-1\)\textrm{ gdy }s\geq \frac{1}{2}\\H\(1-\frac{t}{2},1-2s\)\textrm{ w przeciwnym wypadku}

 

Sprawdzamy: 

H'(t,0)=H(1-\frac{t}{2},1)=(\tau\sigma^{-1})(1-\frac{t}{2})=\sigma\(2-2\(1-\frac{t}{2}\)\)=\sigma(t)

H'(t,1)=H(\frac{t}{2},1)=\tau\(2\frac{t}{2}\)=\tau(t)

Oczywiście H' jest ciągłe, bo H(1-\frac{t}{2},1-2\frac{1}{2})=H(1-\frac{t}{2},0)=\tau(0) i podobnie H(\frac{t}{2},2\frac{1}{2}-1)=\tau(0). Stąd drogi \tau i \sigma są homotopijne.


  • 1