Wykazać, że w przestrzeni prosto spójnej każde dwie ścieżki są homotopijne.
#1
Napisano 22.01.2014 - 18:55
Napisano 25.09.2011 - 17:55
#2
Napisano 24.01.2014 - 22:47
Simply connected space to w języku polskim przestrzeń jednospójna.
Mamy dwie drogi: oraz takie, że oraz . Niech oznacza pętlę w określoną wzorem:
(po prostu najpierw poruszamy się po drodze , a potem wracamy po drodze tyle że w odwrotnym kierunku). Ta pętla jest homotopijna z pętlą trywialną, więc istnieje takie, że i . Teraz mówiąc obrazowo, musimy przekroić kwadrat w połowie (pionowo) zostawiając punkt na dole i obrócić prawą część wokół zostawionego punktu tak, żeby dwie połowy podstawy zetknęły się ze sobą. Po przeskalowaniu prostokąta otrzymamy kwadrat w którym u góry jest a na dole . Formalnie:
Sprawdzamy:
Oczywiście jest ciągłe, bo i podobnie . Stąd drogi i są homotopijne.