Pierścienie, ciała i grupy - ktoś wytłumaczy na chłopski rozum?
#1
Napisano 31.10.2010 - 22:56
chciałbym się zapytać was, czy moglibyście rozbić mi i wytłumaczyć o co chodzi w powyższych definicjach? Bo chodzi o to, że to podobno podstawy podstaw na studiach, a ja nie rozumiem zasady działania tego "czegoś", po co to jest i dlaczego ktoś wymyślił sobie taki bzdet*
Z góry dziękuję za pomoc
*Proszę, nie miejcie urazy, ale naprawdę to troszkę jest dziwne
Napisano 25.09.2011 - 17:55
#2
Napisano 31.10.2010 - 23:20
dla dowolnych ,
istnieje element taki, że dla dowolnego zachodzą równości ,
dla dowolnego istnieje taki, że .
Przy tym element istnieje wtedy tylko jeden i nazywa się go elementem neutralnym działania , a element spełniający ostatnią równość nazywa się odwrotnym do względem tego działania.Warto przeanalizować definicję grupy na najprostszych przykładach zbiorów liczbowych . Zastanów się, dlaczego grupą nie jest np. (bez różnicy, czy uznamy, że 0 jest liczbą naturalną czy też nie).
Przeanalizujmy teraz zbiór wielomianów wyposażony w działanie dodawania. Najpierw trzeba zobaczyć, że dodawanie jest w ogóle dobrze określone - czy suma dwóch wielomianów jest zawsze wielomianem? Ale tak jest.
Sprawdź teraz, że zachodzi pierwszy warunek definicji grupy (tzw. łączność działania (znaną ze szkoły, na wyżej wymienionych przykładach zbiorów liczbowych), tj. wykaż, że dla dowolnych wielomianów .
Teraz kolej na wskazanie ewentualnego elementu neutralnego: łatwo możesz się przekonać, że jest nim tutaj wielomian zerowy (tj. stale równy zeru).
A dla każdego wielomianu istnieje wielomian - będący elementem odwrotnym do .
(Nawiasem mówiąc, w przypadku działania dodawania w grupie, często zamiast terminu element odwrotny używa się terminu element przeciwny.)
W pojęciu grupy chodzi o pewne intuicyjne własności jakiegoś działania
wykonywanego na elementach pewnego zbioru. Już w szkole poznajemy własności dodawania i mnożenia. W grupie rozważa się tylko jedno działanie. Zwykle nazywa się je dodawaniem (grupa addytywna) lub mnożeniem (grupa multyplikatywna lub, inna pisownia, multiplikatywna). W każdym razie działanie to musi być łączne, mieć element neutralny (tak jak 0 dla dodawania czy 1 dla mnożenia) oraz dla każdego elementu zbioru musi istnieć element przeciwny (notacja addytywna), zwany też odwrotnym w notacji multyplikatywnej. Te trzy własności zostały wyodrębnione ze zwykłego dodawania i mnożenia jako te najbardziej podstawowe. Zauważ, że nie postuluje się tu przemienności. Wiele działań bowiem ma trzy wymienione własności, ale nie są one przemienne. Oczywiście klasyczne dodawanie i mnożenie przemienne są. Wśród działań nieprzemiennych mamy np. w geometrii składanie przekształceń, w algebrze mnożenie macierzy. A jeśli chodzi o wielomiany ze zwykłym dodawaniem, to oczywiście stanowią one grupę. Dodawanie wielomianów jest łączne, ma element neutralny (wielomian zerowy) oraz elementy przeciwne: przeciwnym do wielomianu w(x) jest -w(x).
Jest prawo rozdzielności mnożenia względem dodawania. Łączy ono te dwa działania. Jeśli w jakimś abstrakcyjnym zbiorze rozważymy dwa działania, jedno zwane dodawaniem spełniające postulaty grupy i drugie, zwane mnożeniem, łączne i z elementem neutralnym, niekoniecznie z odwrotnymi, łącząc je dodatkowo prawem rozdzielności, to otrzymamy pierścień. Czasem postuluje się jeszcze przemienność obu działań, czasem nie. Wielomiany o współczynnikach rzeczywistych lub zespolonych tworzą pierścień.
Jeśli ponadto w pierścieniu każdy element niezerowy ma odwrotność (względem mnożenia), to ten pierścień jest ciałem. Wielomiany nie tworzą ciała - nie mają na ogół wielomianów odwrotnych. Intuicyjnie biorąc, jeśli w(x) jest wielomianem stopnia co najmniej 1, to nie jest wielomianem, ale funkcją wymierną. Ale to nie jest poprawne matematycznie tłumaczenie, czemu wielomiany nie mają odwrotności.
#3
Napisano 31.10.2010 - 23:28
iść na studia , a bez tego też da się żyć, no i poza tym, to takich ... "mądrych", ale prostych rzeczy nie da się każdemu ... prosot ot tak ... wytłumaczyć i tyle . ...
#4
Napisano 01.11.2010 - 17:36
Dziękuję ślicznie niusia_87
#5
Napisano 01.11.2010 - 18:18
... "porządek" i to nie tylko w matematyce , ale przy jej pomocy, przede wszystkim w innych dziedzinach nauki . ...
#6
Napisano 22.06.2014 - 23:34
Wiem ze odswiezam temat ale potrzebuj szybkiego wyjasnienia
#7
Napisano 23.06.2014 - 18:46
(N; +) nie bo nie ma elementów odwrotnych w N, w sumie 0 też nie należny do N więc elementu neutralengo tez nie ma
(Z; +) jest
(R; +) jest
(Z; * ) jeśli to mnożenie to nie, bo nie ma elementów odwrotnych
(Q;* ) jest
(Z[i]; +) jest
Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. Nad kreską
#9
Napisano 24.06.2014 - 09:33
Tak to zawsze jest kwestia dyskusyjna. Ja jednak uważam, że liczb naturalnych używamy do liczenia przedmiotów więc mamy 1 przedmiot, dwa przedmioty itd. Moim skromnym zdaniem 0 nie jest liczbą naturalną.
Na oznaczenie naturalnych z zerem używam
Ale nie jestem jakimś szczególnie walczący o taki stan rzeczy, więc respektuje odmienne zdanie no przynajmniej w tej kwestii.
A jeszcze zobaczyłem
i ogulnie na kolosie mialem (Z[4]; *), i sam juz nie wiem co znaczy to 4 czy to jest liczba pierwsza czy czy ogulnie grupa Z4
4 - liczba pierwsza mocne, nie Z[4] to grupa Z4 czyli {0,1,2,3} tak przynajmniej ja to oznaczam
Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. Nad kreską