Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin





- - - - -

Zadanie 10

Napisane przez lost, 25 May 2014 · 1076 wyświetleń

Układ składa się z dwóch klocków 1 i 2 o masach m_1 i m_2 poruszających się pionowo w polu grawitacyjnym, z krążka 3 o masie m_3, promieniu r_3 i masowym momencie bezwładności J_3 oraz z krążka 4 o masie m_4, promieniu r_4 i masowym momencie bezwładności J_4. Na krążek 4 działa moment napędzający M. Wykorzystując równania Lagrange’a II rodzaju, określić równania różniczkowe ruchu układu, przyjmując za współrzędne uogólnione współrzędne \phi_3 oraz \phi_4 układu.

Dołączona grafika

Rozwiązanie:

Wyznaczam przesunięcia poszczególnych mas:
x_3=r_4\phi_4 \\ x_1=r_4\phi_4-r_3\phi_3 \\ x_2=r_3\phi_3+r_4\phi_4

Obliczam prędkości poszczególnych mas:
\dot{x_3}=r_4\dot{\phi_4} \\ \dot{x_1}=r_4\dot{\phi_4}-r_3\dot{\phi_3} \\ \dot{x_2}=r_3\dot{\phi_3}+r_4\dot{\phi_4}

Obliczam energię kinetyczną całkowitą układu:
E=\frac{J_4\dot{\phi_4}^2}{2}+\frac{m_3\dot{x_3}^2}{2}+\frac{J_3\dot{\phi_3}^2}{2}+\frac{m_2\dot{x_2}^2}{2}+\frac{m_1\dot{x_1}^2}{2} \\ E=\frac{J_4\dot{\phi_4}^2}{2}+\frac{m_3(r_4\dot{\phi_4})^2}{2}+\frac{J_3\dot{\phi_3}^2}{2}+\frac{m_2(r_3\dot{\phi_3}+r_4\dot{\phi_4})^2}{2}+\frac{m_1(r_4\dot{\phi_4}-r_3\dot{\phi_3})^2}{2}

Obliczam pochodne energii kinetycznej:
\frac{\partial E}{\partial \dot{\phi_3}}=J_3\ddot{\phi_3}+m_2r_3(r_3\ddot{\phi_3}+r_4\ddot{\phi_4})-m_1r_3(r_4\ddot{\phi_4}-r_3\ddot{\phi_3}) \\ \frac{d}{dt}(\frac{\partial E}{\partial \dot{\phi_3}})=(J_3+m_2r_3^2+m_1r_3^2)\ddot{\phi_3}+(m_2-m_1)r_3r_4\ddot{\phi_4} \\ \frac{\partial E}{\partial \dot{\phi_4}}=J_4\dot{\phi_4}+m_3r_4^2\dot{\phi_4}+m_3r_4(r_4\dot{\phi_4}-r_3\dot{\phi_3})+m_1r_4(r_4\dot{\phi_4}+r_3\dot{\phi_3}) \\ \frac{d}{dt}(\frac{\partial E}{\partial \dot{\phi_4}})=(J_4+m_3r_4^2+m_2r_4^2+m_1r_4^2)\ddot{\phi_4}+(m_2-m_1)r_3r_4\ddot{\phi_3} \\ \frac{\partial E}{\partial \phi_3}=0 \\ \frac{\partial E}{\partial \phi_4}=0

Obliczam energię potencjalną układu:
V=m_1gx_1+m_2gx_2+m_3gx_3 \\ V=m_1g(r_4\phi_4-r_3\phi_3)+m_2g(r_3\phi_3+r_4\phi_4)+m_3gr_4\phi_4

Obliczam pochodne energii potencjalnej:
\frac{\partial V}{\partial \phi_3}=(m_2-m_1)gr_3 \\ \frac{\partial V}{\partial \phi_4}=(m_1+m_2+m_3)gr_4

Wyznaczam obciążenie zastępcze:
\delta W= M\delta \phi_4 =M_{\phi_4} \delta \phi_4 \\ M_{\phi_4}=M

Równania różniczkowe Lagrange'a II rodzaju mają postać:
(J_3+m_2r_3^2+m_1r_3^2)\ddot{\phi_3}+(m_2-m_1)r_3r_4\ddot{\phi_4}+(m_2-m_1)gr_3=0 \\ (J_4+m_3r_4^2+m_2r_4^2+m_1r_4^2)\ddot{\phi_4}+(m_2-m_1)r_3r_4\ddot{\phi_3}+(m_1+m_2+m_3)gr_4=M

Po wykonaniu przekształceń są one następujące:
[J_3+(m_1+m_2)r_3^2]\ddot{\phi_3}+(m_2-m_1)r_3r_4\ddot{\phi_4}=(m_1-m_2)gr_3 \\ (m_2-m_1)r_3r_4\ddot{\phi_3}+[J_4+(m_3+m_2+m_1)r_4^2]\ddot{\phi_4}=M-(m_1+m_2+m_3)gr_4

  • 0