Centrum statystyk

FAQ i inne

Więcej

Javascript Disabled Detected

You currently have javascript disabled. Several functions may not work. Please re-enable javascript to access full functionality.

1

Zadanie 10

Napisane przez lost, 25 May 2014 · 1223 wyświetleń

Układ składa się z dwóch klocków 1 i 2 o masach $m_1$ i $m_2$ poruszających się pionowo w polu grawitacyjnym, z krążka 3 o masie $m_3$ , promieniu $r_3$ i masowym momencie bezwładności $J_3$ oraz z krążka 4 o masie $m_4$ , promieniu $r_4$ i masowym momencie bezwładności $J_4$ . Na krążek 4 działa moment napędzający $M$ . Wykorzystując równania Lagrangeâa II rodzaju, określić równania różniczkowe ruchu układu, przyjmując za współrzędne uogólnione współrzędne $\phi_3$ oraz $\phi_4$ układu.

Dołączona grafika

Rozwiązanie:

Wyznaczam przesunięcia poszczególnych mas:
$x_3=r_4\phi_4 \\ x_1=r_4\phi_4-r_3\phi_3 \\ x_2=r_3\phi_3+r_4\phi_4$

Obliczam prędkości poszczególnych mas:
$\dot{x_3}=r_4\dot{\phi_4} \\ \dot{x_1}=r_4\dot{\phi_4}-r_3\dot{\phi_3} \\ \dot{x_2}=r_3\dot{\phi_3}+r_4\dot{\phi_4}$

Obliczam energię kinetyczną całkowitą układu:
$E=\frac{J_4\dot{\phi_4}^2}{2}+\frac{m_3\dot{x_3}^2}{2}+\frac{J_3\dot{\phi_3}^2}{2}+\frac{m_2\dot{x_2}^2}{2}+\frac{m_1\dot{x_1}^2}{2} \\ E=\frac{J_4\dot{\phi_4}^2}{2}+\frac{m_3(r_4\dot{\phi_4})^2}{2}+\frac{J_3\dot{\phi_3}^2}{2}+\frac{m_2(r_3\dot{\phi_3}+r_4\dot{\phi_4})^2}{2}+\frac{m_1(r_4\dot{\phi_4}-r_3\dot{\phi_3})^2}{2}$

Obliczam pochodne energii kinetycznej:
$\frac{\partial E}{\partial \dot{\phi_3}}=J_3\ddot{\phi_3}+m_2r_3(r_3\ddot{\phi_3}+r_4\ddot{\phi_4})-m_1r_3(r_4\ddot{\phi_4}-r_3\ddot{\phi_3}) \\ \frac{d}{dt}(\frac{\partial E}{\partial \dot{\phi_3}})=(J_3+m_2r_3^2+m_1r_3^2)\ddot{\phi_3}+(m_2-m_1)r_3r_4\ddot{\phi_4} \\ \frac{\partial E}{\partial \dot{\phi_4}}=J_4\dot{\phi_4}+m_3r_4^2\dot{\phi_4}+m_3r_4(r_4\dot{\phi_4}-r_3\dot{\phi_3})+m_1r_4(r_4\dot{\phi_4}+r_3\dot{\phi_3}) \\ \frac{d}{dt}(\frac{\partial E}{\partial \dot{\phi_4}})=(J_4+m_3r_4^2+m_2r_4^2+m_1r_4^2)\ddot{\phi_4}+(m_2-m_1)r_3r_4\ddot{\phi_3} \\ \frac{\partial E}{\partial \phi_3}=0 \\ \frac{\partial E}{\partial \phi_4}=0$

Obliczam energię potencjalną układu:
$V=m_1gx_1+m_2gx_2+m_3gx_3 \\ V=m_1g(r_4\phi_4-r_3\phi_3)+m_2g(r_3\phi_3+r_4\phi_4)+m_3gr_4\phi_4$

Obliczam pochodne energii potencjalnej:
$\frac{\partial V}{\partial \phi_3}=(m_2-m_1)gr_3 \\ \frac{\partial V}{\partial \phi_4}=(m_1+m_2+m_3)gr_4$

Wyznaczam obciążenie zastępcze:
$\delta W= M\delta \phi_4 =M_{\phi_4} \delta \phi_4 \\ M_{\phi_4}=M$

Równania różniczkowe Lagrange'a II rodzaju mają postać:
$(J_3+m_2r_3^2+m_1r_3^2)\ddot{\phi_3}+(m_2-m_1)r_3r_4\ddot{\phi_4}+(m_2-m_1)gr_3=0 \\ (J_4+m_3r_4^2+m_2r_4^2+m_1r_4^2)\ddot{\phi_4}+(m_2-m_1)r_3r_4\ddot{\phi_3}+(m_1+m_2+m_3)gr_4=M$

Po wykonaniu przekształceń są one następujące:
$[J_3+(m_1+m_2)r_3^2]\ddot{\phi_3}+(m_2-m_1)r_3r_4\ddot{\phi_4}=(m_1-m_2)gr_3 \\ (m_2-m_1)r_3r_4\ddot{\phi_3}+[J_4+(m_3+m_2+m_1)r_4^2]\ddot{\phi_4}=M-(m_1+m_2+m_3)gr_4$

0

Zadanie 10

Zaloguj się