Układ składa się z dwóch klocków 1 i 2 o masach
i
poruszających się pionowo w polu grawitacyjnym, z krążka 3 o masie
, promieniu
i masowym momencie bezwładności
oraz z krążka 4 o masie
, promieniu
i masowym momencie bezwładności
. Na krążek 4 działa moment napędzający
. Wykorzystując równania Lagrangeâa II rodzaju, określić równania różniczkowe ruchu układu, przyjmując za współrzędne uogólnione współrzędne
oraz
układu.

Rozwiązanie:
Wyznaczam przesunięcia poszczególnych mas:

Obliczam prędkości poszczególnych mas:

Obliczam energię kinetyczną całkowitą układu:
^2}{2}+\frac{J_3\dot{\phi_3}^2}{2}+\frac{m_2(r_3\dot{\phi_3}+r_4\dot{\phi_4})^2}{2}+\frac{m_1(r_4\dot{\phi_4}-r_3\dot{\phi_3})^2}{2})
Obliczam pochodne energii kinetycznej:
-m_1r_3(r_4\ddot{\phi_4}-r_3\ddot{\phi_3}) \\ \frac{d}{dt}(\frac{\partial E}{\partial \dot{\phi_3}})=(J_3+m_2r_3^2+m_1r_3^2)\ddot{\phi_3}+(m_2-m_1)r_3r_4\ddot{\phi_4} \\ \frac{\partial E}{\partial \dot{\phi_4}}=J_4\dot{\phi_4}+m_3r_4^2\dot{\phi_4}+m_3r_4(r_4\dot{\phi_4}-r_3\dot{\phi_3})+m_1r_4(r_4\dot{\phi_4}+r_3\dot{\phi_3}) \\ \frac{d}{dt}(\frac{\partial E}{\partial \dot{\phi_4}})=(J_4+m_3r_4^2+m_2r_4^2+m_1r_4^2)\ddot{\phi_4}+(m_2-m_1)r_3r_4\ddot{\phi_3} \\ \frac{\partial E}{\partial \phi_3}=0 \\ \frac{\partial E}{\partial \phi_4}=0)
Obliczam energię potencjalną układu:
+m_2g(r_3\phi_3+r_4\phi_4)+m_3gr_4\phi_4)
Obliczam pochodne energii potencjalnej:
gr_3 \\ \frac{\partial V}{\partial \phi_4}=(m_1+m_2+m_3)gr_4)
Wyznaczam obciążenie zastępcze:

Równania różniczkowe Lagrange'a II rodzaju mają postać:
\ddot{\phi_3}+(m_2-m_1)r_3r_4\ddot{\phi_4}+(m_2-m_1)gr_3=0 \\ (J_4+m_3r_4^2+m_2r_4^2+m_1r_4^2)\ddot{\phi_4}+(m_2-m_1)r_3r_4\ddot{\phi_3}+(m_1+m_2+m_3)gr_4=M)
Po wykonaniu przekształceń są one następujące:

Rozwiązanie:
Wyznaczam przesunięcia poszczególnych mas:
Obliczam prędkości poszczególnych mas:
Obliczam energię kinetyczną całkowitą układu:
Obliczam pochodne energii kinetycznej:
Obliczam energię potencjalną układu:
Obliczam pochodne energii potencjalnej:
Wyznaczam obciążenie zastępcze:
Równania różniczkowe Lagrange'a II rodzaju mają postać:
Po wykonaniu przekształceń są one następujące: