Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin





- - - - -

Zadanie 8

Napisane przez lost, 25 May 2014 · 1183 wyświetleń

Układ składa się z dwóch ciężarków 1 i 2 o masach m_1 i m_2 oraz dwóch jednorodnych walców 3 i 4 o masach m_2 i m_4, które połączone są nieważką nierozciągliwą liną. Do ciężarka 1 zamocowano sprężynę o współczynniku c, a do ciężarka 2 tłumik wiskotyczny o współczynniku tłumienia b. Wykorzystując równania Lagrange’a II rodzaju określić równanie różniczkowe ruchu układu przyjmując za współrzędną uogólnioną przemieszczenie x_1 masy 1.

Dołączona grafika

Rozwiązanie:

Parametry przesunięc poszczególnych mas są następujące:
\phi_3=\frac{x_1}{r_3}  \\ \phi_4=\frac{x_2}{2r_4} \\ x_2=x_4=\frac{x_1}{2}

Prędkośći poszczególnych mas:
\dot{\phi_3}=\frac{\dot{x_1}}{r_3}  \\ \dot{\phi_4}=\frac{\dot{x_2}}{2r_4} \\ \dot{x_2}=\dot{x_4}=\frac{\dot{x_1}}{2}

Masowe momenty bezwładności okrągłych bloczków wynoszą:
J_3=\frac{1}{2}m_3r_3^2 \\ J_4=\frac{1}{2}m_4r_4^2

Energia kinetyczna układu mas wynosi:
E=\frac{m_1\dot{x_1}^2}{2}+\frac{J_3\dot{\phi_3}^2}{2}+\frac{m_4\dot{x_4}^2}{2}+\frac{J_4\dot{\phi_4}^2}{2}+\frac{m_2\dot{x_2}^2}{2} \\ E=\frac{m_1\dot{x_1}^2}{2}+\frac{m_3r_3^2\dot{\phi_3}^2}{4}+\frac{m_4\dot{x_4}^2}{2}+\frac{m_4r_4^2\dot{\phi_4}^2}{4}+\frac{m_2\dot{x_2}^2}{2} \\ E=\frac{m_1\dot{x_1}^2}{2}+\frac{m_3\dot{x_1}^2}{4}+\frac{m_4\dot{x_1}^2}{8}+\frac{m_4\dot{x_1}^2}{8}+\frac{m_2\dot{x_1}^2}{8} \\ E=\frac{1}{2}(m_1+\frac{1}{4}m_2+\frac{1}{2}m_3+\frac{3}{8}m_4)\dot{x_1}^2

Obliczam pochodne energii kinetycznej:
\frac{\partial E}{\partial \dot{x_1}}=(m_1+\frac{1}{4}m_2+\frac{1}{2}m_3+\frac{3}{8}m_4)\dot{x_1} \\ \frac{d}{dt}(\frac{\partial E}{\partial \dot{x_1}})=(m_1+\frac{1}{4}m_2+\frac{1}{2}m_3+\frac{3}{8}m_4)\ddot{x_1} \\ \frac{\partial E}{\partial x_1}=0

Obliczam energię potencjalną:
V=\frac{cx_1^2}{2}

Obliczam pochodną energii potencjalnej:
\frac{\partial V}{\partial x_1}=cx_1

Obliczam dysypację energii:
D=\frac{b\dot{x_2}^2}{2}=\frac{b\dot{x_1}^2}{8}

Obliczam pochodną dysypacji energii
\frac{\partial D}{\partial \dot{x_1}}=\frac{b\dot{x_1}}{4}

Równanie Lagrange'a ostatecznie przyjmuje postać:
(m_1+\frac{1}{4}m_2+\frac{1}{2}m_3+\frac{3}{8}m_4)\ddot{x_1}+\frac{b}{4}\dot{x_1}+cx_1=0

  • 0