Centrum statystyk

FAQ i inne

Więcej

Javascript Disabled Detected

You currently have javascript disabled. Several functions may not work. Please re-enable javascript to access full functionality.

1

Zadanie 8

Napisane przez lost, 25 May 2014 · 1301 wyświetleń

Układ składa się z dwóch ciężarków 1 i 2 o masach $m_1$ i $m_2$ oraz dwóch jednorodnych walców 3 i 4 o masach $m_2$ i $m_4$ , które połączone są nieważką nierozciągliwą liną. Do ciężarka 1 zamocowano sprężynę o współczynniku $c$ , a do ciężarka 2 tłumik wiskotyczny o współczynniku tłumienia $b$ . Wykorzystując równania Lagrangeâa II rodzaju określić równanie różniczkowe ruchu układu przyjmując za współrzędną uogólnioną przemieszczenie $x_1$ masy 1.

Dołączona grafika

Rozwiązanie:

Parametry przesunięc poszczególnych mas są następujące:
$\phi_3=\frac{x_1}{r_3} \\ \phi_4=\frac{x_2}{2r_4} \\ x_2=x_4=\frac{x_1}{2}$

Prędkośći poszczególnych mas:
$\dot{\phi_3}=\frac{\dot{x_1}}{r_3} \\ \dot{\phi_4}=\frac{\dot{x_2}}{2r_4} \\ \dot{x_2}=\dot{x_4}=\frac{\dot{x_1}}{2}$

Masowe momenty bezwładności okrągłych bloczków wynoszą:
$J_3=\frac{1}{2}m_3r_3^2 \\ J_4=\frac{1}{2}m_4r_4^2$

Energia kinetyczna układu mas wynosi:
$E=\frac{m_1\dot{x_1}^2}{2}+\frac{J_3\dot{\phi_3}^2}{2}+\frac{m_4\dot{x_4}^2}{2}+\frac{J_4\dot{\phi_4}^2}{2}+\frac{m_2\dot{x_2}^2}{2} \\ E=\frac{m_1\dot{x_1}^2}{2}+\frac{m_3r_3^2\dot{\phi_3}^2}{4}+\frac{m_4\dot{x_4}^2}{2}+\frac{m_4r_4^2\dot{\phi_4}^2}{4}+\frac{m_2\dot{x_2}^2}{2} \\ E=\frac{m_1\dot{x_1}^2}{2}+\frac{m_3\dot{x_1}^2}{4}+\frac{m_4\dot{x_1}^2}{8}+\frac{m_4\dot{x_1}^2}{8}+\frac{m_2\dot{x_1}^2}{8} \\ E=\frac{1}{2}(m_1+\frac{1}{4}m_2+\frac{1}{2}m_3+\frac{3}{8}m_4)\dot{x_1}^2$

Obliczam pochodne energii kinetycznej:
$\frac{\partial E}{\partial \dot{x_1}}=(m_1+\frac{1}{4}m_2+\frac{1}{2}m_3+\frac{3}{8}m_4)\dot{x_1} \\ \frac{d}{dt}(\frac{\partial E}{\partial \dot{x_1}})=(m_1+\frac{1}{4}m_2+\frac{1}{2}m_3+\frac{3}{8}m_4)\ddot{x_1} \\ \frac{\partial E}{\partial x_1}=0$

Obliczam energię potencjalną:
$V=\frac{cx_1^2}{2}$

Obliczam pochodną energii potencjalnej:
$\frac{\partial V}{\partial x_1}=cx_1$

Obliczam dysypację energii:
$D=\frac{b\dot{x_2}^2}{2}=\frac{b\dot{x_1}^2}{8}$

Obliczam pochodną dysypacji energii
$\frac{\partial D}{\partial \dot{x_1}}=\frac{b\dot{x_1}}{4}$

Równanie Lagrange'a ostatecznie przyjmuje postać:
$(m_1+\frac{1}{4}m_2+\frac{1}{2}m_3+\frac{3}{8}m_4)\ddot{x_1}+\frac{b}{4}\dot{x_1}+cx_1=0$

0

Zadanie 8

Zaloguj się