Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin





- - - - -

Zadanie 9

Napisane przez lost, 25 May 2014 · 1115 wyświetleń

Manipulator robota o dwóch stopniach swobody składa się z dwóch członów: pionowego 1 o masowym momencie bezwładności J_1 względem osi obrotu z oraz poziomego 2 o masie m_2 i masowym momencie bezwładności J_{2C} względem osi przechodzącej przez środek masy równoległej do osi z. Człony połączone są parą postępową. Na człon 1 działa moment M, zaś na człon 2 pozioma siła P. Wykorzystując równania Lagrange’a II rodzaju określić równania różniczkowe ruchu układu, przyjmując za współrzędne uogólnione współrzędne s oraz \phi.

Dołączona grafika

Rozwiązanie:

Wyznaczam prędkość względną punktu C dla masy m_2 zgodnie z zasadami dla ruchu w spółrzędnych walcowych/biegunowych:
v_2^2=\dot{s}^2+(s\dot{\phi})^2 \\ v_2^2=\dot{s}^2+s^2\dot{\phi}^2

Wyznaczam energię kinetyczną układu mas:
E=\frac{J_1\dot{\phi}^2}{2}+\frac{J_{2C}\dot{\phi}^2}{2}+\frac{m_2v_2^2}{2} \\ E=\frac{J_1\dot{\phi}^2}{2}+\frac{J_{2C}\dot{\phi}^2}{2}+\frac{m_2(\dot{s}^2+s^2\dot{\phi}^2)}{2}

Wyznaczam pochodne związane z energią kinetyczną:
\frac{\partial E}{\partial \dot{s}}=m_2\dot{s} \\ \frac{d}{dt}(\frac{\partial E}{\partial \dot{s}})=m_2\ddot{s} \\ \frac{\partial E}{\partial s}=m_2s\dot{\phi}^2 \\ \frac{\partial E}{\partial \dot{\phi}}=(J_1+J_{2C}+m_2s^2)\dot{\phi} \\ \frac{d}{dt}(\frac{\partial E}{\partial \dot{\phi}})=(J_1+J_{2C}+m_2s^2)\ddot{\phi}+2m_2s\dot{s}\dot{\phi} \\ \frac{\partial E}{\partial \phi}=0

Wyznaczam obciążenie uogólnione:
\delta W=P\delta s+M\delta \phi=Q_s\delta s +M_{\phi} \delta\phi \\ Q_s=P \\ M_{\phi}=M

Po podstawieniu równania Lagrange'a II rodzaju przyjmują postać:
m_2\ddot{s}-m_2s\dot{\phi}^2=P \\ (J_1+J_{2C}+m_2s^2)\ddot{\phi}+2m_2s\dot{s}\dot{\phi}=M

  • 0