Stwórz swój skin
1
Układ składa się z klocka 1 masie 
poruszającego się poziomo oraz jednorodnego pręta 2 o masie 
i długości 
. Klocek połączono sprężyną o współczynniku sztywności 
z ostoją. Wykorzystując równania Lagrangeâa II rodzaju, określić równania różniczkowe ruchu układu i zapisać je w postaci macierzowej, przyjmując za współrzędne uogólnione współrzędne 
oraz 
.
Rozwiązanie:
Rozkład wektorów prędkości środka masy przedstawia poniższy rysunek:
Obliczam prędkość względną masy:
^2\dot{\phi_2}^2-2\cdot \frac{L}{2} \cdot \dot{x_1}\dot{\phi_2} cos(180^o-\phi_2) \\ v_2^2=\dot{x_1}^2+\frac{L^2}{4}\cdot \dot{\phi_2}^2+L\dot{x_1}\dot{\phi_2} cos\phi_2 )
Masowy moment bezwładności pręta wynosi:
Energię kinetyczną oblicza się z zależności:
}{2})
Obliczam pochodne energii:
=(m_1+m_2)\ddot{x_1}+\frac{m_2L\ddot{\phi_2}\cos\phi_2}{2} -\frac{m_2L \dot{\phi_2}^2 sin\phi_2}{2} \\ \frac{\partial E}{\partial x_1}=0 \\ \frac{\partial E}{\partia \dot{\phi_2}}=\frac{m_2L^2\dot{\phi_2}}{12}+\frac{m_2L^2\dot{\phi_2}^2}{4}+\frac{m_2L\dot{x_1} cos\phi_2}{2} \\ \frac{d}{dt}(\frac{\partial E}{\partial\dot{\phi_2}})=\frac{m_2L^2\ddot{\phi_2}}{3}+\frac{m_2L\ddot{x_1} cos\phi_2}{2}-\frac{m_2L\dot{x_1}\dot{\phi_2}sin\phi_2}{2} \\ \frac{\partial E}{\partial \phi_2}=-\frac{m_2L\dot{x_1}\dot{\phi_2}sin\phi_2}{2})
Energia potencjalna ma postać:
Pochodna energii potencjalnej wynoszą:
Równania różniczkowe Lagrange'a przyjmują postać:
\ddot{x_1}+\frac{m_2L\ddot{\phi_2}\cos\phi_2}{2} -\frac{m_2L \dot{\phi_2}^2 sin\phi_2}{2}+kx_1=0 \\ \frac{m_2L^2\ddot{\phi_2}}{3}+\frac{m_2L\ddot{x_1} cos\phi_2}{2}-\frac{m_2L\dot{x_1}\dot{\phi_2}sin\phi_2}{2}-(-\frac{m_2L\dot{x_1}\dot{\phi_2}sin\phi_2}{2})+\frac{m_2gL sin\phi_2}{2}=0 )
Po przekształceniach równania są następujące:
\ddot{x_1}+\frac{1}{2}m_2L\cos\phi_2 \ddot{\phi_2} +kx_1=\frac{1}{2}m_2L \dot{\phi_2}^2 sin\phi_2 \\ \frac{1}{2}m_2L cos\phi_2 \ddot{x_1} +\frac{1}{3}m_2L^2\ddot{\phi_2}=-\frac{1}{2}m_2gL sin\phi_2 )
W postaci macierzowej rówanania te mają postać:
![\left[\begin{array}{ccc}m_1+m_2&\frac{1}{2}m_2L\cos\phi_2\\ \frac{1}{2}m_2L cos\phi_2& \frac{1}{3}m_2L^2\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{ccc} \ddot{x_1}\\ \ddot{\phi_2}\end{array}\right] + \left[\begin{array}{ccc}k&0\\ 0& 0\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{ccc} x_1\\ \phi_2\end{array}\right]= \left[\begin{array}{ccc} \frac{1}{2}m_2L \dot{\phi_2}^2 sin\phi_2 \\ -\frac{1}{2}m_2gL sin\phi_2\end{array}\right]](http://matma4u.pl/cgi-bin/mimetex.cgi?\left[\begin{array}{ccc}m_1+m_2&\frac{1}{2}m_2L\cos\phi_2\\ \frac{1}{2}m_2L cos\phi_2& \frac{1}{3}m_2L^2\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{ccc} \ddot{x_1}\\ \ddot{\phi_2}\end{array}\right] + \left[\begin{array}{ccc}k&0\\ 0& 0\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{ccc} x_1\\ \phi_2\end{array}\right]= \left[\begin{array}{ccc} \frac{1}{2}m_2L \dot{\phi_2}^2 sin\phi_2 \\ -\frac{1}{2}m_2gL sin\phi_2\end{array}\right])
Rozwiązanie:
Rozkład wektorów prędkości środka masy
Obliczam prędkość względną masy
Masowy moment bezwładności pręta wynosi:
Energię kinetyczną oblicza się z zależności:
Obliczam pochodne energii:
Energia potencjalna ma postać:
Pochodna energii potencjalnej wynoszą:
Równania różniczkowe Lagrange'a przyjmują postać:
Po przekształceniach równania są następujące:
W postaci macierzowej rówanania te mają postać:
