Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin





- - - - -

Zadanie 7

Napisane przez lost, 25 May 2014 · 922 wyświetleń

Układ składa się z klocka 1 masie m_1 poruszającego się poziomo oraz jednorodnego pręta 2 o masie m_2 i długości L. Klocek połączono sprężyną o współczynniku sztywności k z ostoją. Wykorzystując równania Lagrange’a II rodzaju, określić równania różniczkowe ruchu układu i zapisać je w postaci macierzowej, przyjmując za współrzędne uogólnione współrzędne x_1 oraz \phi_2.

Dołączona grafika

Rozwiązanie:

Rozkład wektorów prędkości środka masy m_2 przedstawia poniższy rysunek:
Dołączona grafika
Obliczam prędkość względną masy m_2:
 v_2^2=\dot{x_1}^2+(\frac{L}{2})^2\dot{\phi_2}^2-2\cdot \frac{L}{2} \cdot \dot{x_1}\dot{\phi_2} cos(180^o-\phi_2) \\ v_2^2=\dot{x_1}^2+\frac{L^2}{4}\cdot \dot{\phi_2}^2+L\dot{x_1}\dot{\phi_2} cos\phi_2

Masowy moment bezwładności pręta wynosi:
J_2=\frac{1}{12}m_2L^2
Energię kinetyczną oblicza się z zależności:
E=\frac{m_1\dot{x_1}^2}{2}+\frac{J_2\dot{\phi_2}^2}{2}+\frac{m_2v_2^2}{2} \\ E=\frac{m_1\dot{x_1}^2}{2}+ \frac{mL^2\dot{\phi_2}^2}{24}+\frac{m_2(\dot{x_1}^2+\frac{L^2}{4}\cdot \dot{\phi_2}^2+L\dot{x_1}\dot{\phi_2} cos\phi_2)}{2}

Obliczam pochodne energii:
\frac{\partial E}{\partia \dot{x_1}}=m_1\dot{x}+m_2\dot{x}+\frac{m_2L\dot{\phi_2}\cos\phi_2}{2} \\ \frac{d}{dt}(\frac{\partial E}{\partial \dot{x_1}})=(m_1+m_2)\ddot{x_1}+\frac{m_2L\ddot{\phi_2}\cos\phi_2}{2} -\frac{m_2L \dot{\phi_2}^2 sin\phi_2}{2} \\ \frac{\partial E}{\partial x_1}=0 \\ \frac{\partial E}{\partia \dot{\phi_2}}=\frac{m_2L^2\dot{\phi_2}}{12}+\frac{m_2L^2\dot{\phi_2}^2}{4}+\frac{m_2L\dot{x_1} cos\phi_2}{2} \\ \frac{d}{dt}(\frac{\partial E}{\partial\dot{\phi_2}})=\frac{m_2L^2\ddot{\phi_2}}{3}+\frac{m_2L\ddot{x_1} cos\phi_2}{2}-\frac{m_2L\dot{x_1}\dot{\phi_2}sin\phi_2}{2} \\ \frac{\partial E}{\partial \phi_2}=-\frac{m_2L\dot{x_1}\dot{\phi_2}sin\phi_2}{2}

Energia potencjalna ma postać:
V=\frac{kx_1^2}{2}-\frac{m_2g L cos\phi_2}{2}

Pochodna energii potencjalnej wynoszą:
\frac{\partial V}{\partial x_1}=kx_1 \\ \frac{\partial V}{\partial \phi_2}=\frac{m_2gL sin\phi_2}{2}

Równania różniczkowe Lagrange'a przyjmują postać:
(m_1+m_2)\ddot{x_1}+\frac{m_2L\ddot{\phi_2}\cos\phi_2}{2} -\frac{m_2L \dot{\phi_2}^2 sin\phi_2}{2}+kx_1=0 \\ \frac{m_2L^2\ddot{\phi_2}}{3}+\frac{m_2L\ddot{x_1} cos\phi_2}{2}-\frac{m_2L\dot{x_1}\dot{\phi_2}sin\phi_2}{2}-(-\frac{m_2L\dot{x_1}\dot{\phi_2}sin\phi_2}{2})+\frac{m_2gL sin\phi_2}{2}=0

Po przekształceniach równania są następujące:
(m_1+m_2)\ddot{x_1}+\frac{1}{2}m_2L\cos\phi_2 \ddot{\phi_2} +kx_1=\frac{1}{2}m_2L \dot{\phi_2}^2 sin\phi_2 \\ \frac{1}{2}m_2L cos\phi_2 \ddot{x_1} +\frac{1}{3}m_2L^2\ddot{\phi_2}=-\frac{1}{2}m_2gL sin\phi_2

W postaci macierzowej rówanania te mają postać:
\left[\begin{array}{ccc}m_1+m_2&\frac{1}{2}m_2L\cos\phi_2\\ \frac{1}{2}m_2L cos\phi_2& \frac{1}{3}m_2L^2\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{ccc} \ddot{x_1}\\ \ddot{\phi_2}\end{array}\right] + \left[\begin{array}{ccc}k&0\\ 0& 0\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{ccc} x_1\\ \phi_2\end{array}\right]= \left[\begin{array}{ccc} \frac{1}{2}m_2L \dot{\phi_2}^2 sin\phi_2 \\ -\frac{1}{2}m_2gL sin\phi_2\end{array}\right]

  • 0