Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin





- - - - -

Zadanie 6

Napisane przez lost, 25 May 2014 · 898 wyświetleń

Układ składa się z klocka 1 masie m_1 poruszającego się poziomo oraz wahadła matematycznego 2 o masie m_2 i długości L. Klocek połączono sprężyną o współczynniku sztywności k z ostoją. Wykorzystując równania Lagrange’a II rodzaju, określić równania różniczkowe ruchu układu i zapisać je w postaci macierzowej, przyjmując za współrzędne uogólnione współrzędne x_1 oraz \phi_2.

Dołączona grafika

Rozwiązanie:

Rozkład wektorów prędkości środka masy m_2 przedstawia poniższy rysunek:
Dołączona grafika
Obliczam prędkość względną masy m_2:
 v_2^2=\dot{x_1}^2+L^2\dot{\phi_2}^2-2L\dot{x_1}\dot{\phi_2} cos(180^o-\phi_2) \\ v_2^2=\dot{x_1}^2+L^2\dot{\phi_2}^2+2L\dot{x_1}\dot{\phi_2} cos(\phi_2)

Energię kinetyczną oblicza się z zależności:
E=\frac{m_1\dot{x_1}^2}{2}+\frac{m_2v_2^2}{2} \\ E=\frac{m_1\dot{x_1}^2}{2}+\frac{m_2(\dot{x_1}^2+L^2\dot{\phi_2}^2+2L\dot{x_1}\dot{\phi_2}cos\phi)}{2}

Obliczam pochodne energii:
\frac{\partial E}{\partia \dot{x_1}}=m_1\dot{x}+m_2\dot{x}+m_2L\dot{\phi_2}\cos\phi_2 \\ \frac{d}{dt}(\frac{\partial E}{\partia \dot{x_1}})=(m_1+m_2)\ddot{x_1}+m_2L\ddot{\phi_2}\cos\phi_2 -m_2L \dot{\phi_2}^2 sin\phi_2 \\ \frac{\partial E}{\partial x_1}=0 \\ \frac{\partial E}{\partia \dot{\phi_2}}=m_2L^2\dot{\phi_2}+m_2L\dot{x_1} cos\phi_2 \\ \frac{d}{dt}(\frac{\partial E}{\partia \dot{\phi_2}})=m_2L^2\ddot{\phi_2}+m_2L\ddot{x_1} cos\phi_2-m_2L\dot{x_1}\dot{\phi_2}sin\phi_2 \\ \frac{\partial E}{\partial \phi_2}=-m_2L\dot{x_1}\dot{\phi_2}sin\phi_2

Energia potencjalna ma postać:
V=\frac{kx_1^2}{2}-m_2g L cos\phi_2

Pochodna energii potencjalnej wynoszą:
\frac{\partial V}{\partial x_1}=kx_1 \\ \frac{\partial V}{\partial \phi_2}=m_2gL sin\phi_2

Równania różniczkowe Lagrange'a przyjmują postać:
(m_1+m_2)\ddot{x_1}+m_2L\ddot{\phi_2}\cos\phi_2 -m_2L \dot{\phi_2}^2 sin\phi_2+kx_1=0 \\ m_2L^2\ddot{\phi_2}+m_2L\ddot{x_1} cos\phi_2-m_2L\dot{x_1}\dot{\phi_2}sin\phi_2-(-L\dot{x_1}\dot{\phi_2}sin\phi_2)+m_2gL sin\phi_2=0

Po przekształceniach równania są następujące:
(m_1+m_2)\ddot{x_1}+m_2L\cos\phi_2 \ddot{\phi_2} +kx_1=m_2L \dot{\phi_2}^2 sin\phi_2 \\ m_2L cos\phi_2 \ddot{x_1} +m_2L^2\ddot{\phi_2}=-m_2gL sin\phi_2

W postaci macierzowej rówanania te mają postać:
\left[\begin{array}{ccc}m_1+m_2&m_2L\cos\phi_2\\ m_2L cos\phi_2& m_2L^2\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{ccc} \ddot{x_1}\\ \ddot{\phi_2}\end{array}\right] + \left[\begin{array}{ccc}k&0\\ 0& 0\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{ccc} x_1\\ \phi_2\end{array}\right]= \left[\begin{array}{ccc} m_2L \dot{\phi_2}^2 sin\phi_2 \\ -m_2gL sin\phi_2\end{array}\right]

  • 0