Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin





- - - - -

Zadanie 5

Napisane przez lost, 24 May 2014 · 879 wyświetleń

Układ składa się z klocka 1 masie m_1 poruszającego się pionowo w polu grawitacyjnym oraz z krążka 2 o masie m_2 i promieniu  r_2. Klocek i krążek połączone są sprężyną o współczynniku sztywności k. Wykorzystując równania Lagrange’a II rodzaju, określić równania różniczkowe ruchu układu i zapisać je w postaci macierzowej, przyjmując za współrzędne uogólnione współrzędne x_1 oraz \phi_2. Krążek potraktować jako jednorodny walec.

Dołączona grafika

Rozwiązanie:

Obliczam masowy moment bezwładności masy m_2:
J_2=\frac{1}{2}m_2r_2^2

Obliczam energię kinetyczną układu:
E=\frac{m_1\dot{x_1}^2}{2}+\frac{J_2\dot{\phi}_2^2}{2} \\ E=\frac{m_1\dot{x_1}^2}{2}+\frac{1}{2}\cdot \frac{m_2r_2^2\dot{\phi}_2^2}{2}

Obliczam pochodne energii kinetycznej:
\frac{\partia E}{\partial \dot{x_1}}=m_1\dot{x_1} \\ \frac{d}{dt}(\frac{\partia E}{\partial \dot{x_1}})=m_1\ddot{x_1} \\ \frac{\partia E}{\partial x_1}=0 \\ \frac{\partia E}{\partial \dot{\phi_2}}=\frac{1}{2}m_2r_2^2\dot{\phi_2} \\ \frac{d}{dt} (\frac{\partia E}{\partial \dot{\phi_2}})=\frac{1}{2}m_2r_2^2\ddot{\phi_2} \\ \frac{\partia E}{\partial \phi_2}=0

Obliczam energię potencjalną:
V=\frac{k(x_1-r_2\phi_2)^2}{2}-m_1gx_1

Obliczam pochodne energii potencjalnej:
\frac{\partial E}{\partial x_1}=k(x_1-r_2\phi_2)-m_1g \\ \frac{\partial E}{\partial \phi_2}=-kr_2(x_1-r_2\phi_2)

Równania Lagrange'a mają postać:
m_1\ddot{x_1}+k(x_1-r_2\phi_2)-m_1g=0 \\ \frac{1}{2}m_2r_2^2\ddot{\phi_2}-kr_2(x_1-r_2\phi_2)=0

Po uporządkowaniu równania mają postać:
m_1\ddot{x_1}+kx_1-kr_2\phi_2=m_1g \\ \frac{1}{2}m_2r_2^2\ddot{\phi_2}-kr_2x_1+kr_2^2\phi_2=0

W postaci macierzowej równania te są następujące:
\left[\begin{array}{ccc}m_1&0\\0&\frac{1}{2}m_2r_2^2\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{ccc}\ddot{x_1}\\ \ddot{\phi_2} \end{array}\right]+\left[\begin{array}{ccc}k&-kr_2\\-kr_2& kr^2_2\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{ccc}{x_1}\\ {\phi_2} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}m_1g\\ 0 \end{array}\right]

  • 0