Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin





- - - - -

Zadanie 4

Napisane przez lost, 24 May 2014 · 786 wyświetleń

Dwa koła zamachowe osadzono sztywno na wale o kształcie i współczynnikach sztywności pokazanych na rys. Korzystając z równań Lagrange’a II rodzaju, określić macierze bezwładności i sztywności układu podczas małych drgań skrętnych, przyjmując za współrzędne uogólnione kąty skręceń kół. Dane: J_1, J_2, k_1, k_2, k_3.
Dołączona grafika
Rozwiązanie:

Wyznaczenie zastępczej sztywności połączenia szeregowego sprężyn k_2 i k_3:
k_{2-3}=\frac{k_2\cdot k_3}{k_2+k_3}

Wyznaczenie zatępczej sztywności połączenia równoległego sprężyn k_1 i k_2:
k_{1-2}=k_1+k_2

Wyznaczenie energii kinetycznej układu mas:
E=\frac{J_1\dot{q_1}^2}{2}+\frac{J_2\dot{q_2}^2}{2}

Wyznaczam pochodzne energii:
\frac{\partial E}{\partial \dot{q_1}}=J_1\dot{q_1} \\ \frac{d}{dt}(\frac{\partial E}{\partial \dot{q_1}})=J_1\ddot{q_1} \\ \frac{\partial E}{\partial q_1}=0 \\ \frac{\partial E}{\partial \dot{q_2}}=J_2\dot{q_2} \\ \frac{d}{dt}(\frac{\partial E}{\partial \dot{q_2}})=J_2\ddot{q_2} \\ \frac{\partial E}{\partial q_2}=0

Wyznaczam energię kinetyczną:
V=\frac{k_1q_1^2}{2}+\frac{k_{2-3}(q_1-q_2)^2}{2}+\frac{k_{1-2}q_2^2}{2}

Obliczam pochodnę energii kinetycznej:
\frac{\partial V}{\partial q_1}=k_1q_1+k_{2-3}(q_1-q_2) \\ \frac{\partial V}{\partial q_1}=(k_1+k_{2-3})q_1-k_{2-3}q_2 \\ \frac{\partial V}{\partial q_2}=-k_{2-3}(q_1-q_2) +k_{1-2}q_2 \\ \frac{\partial V}{\partial q_1}=-k_{2-3}q_1+(k_{1-2}+k_{2-3})q_2

Równania Lagrange'a mają postać:
J_1\ddot{q_1}+(k_1+k_{2-3})q_1-k_{2-3}q_2=0 \\ J_2\ddot{q_2}-k_{2-3}q_1+(k_{1-2}+k_{2-3})q_2=0

W związku z powyższym macierz bezwładności ma postać:
J= \left[\begin{array}{ccc} J_1&0\\0&J_2\end{array}\right]

Macierz sztywności ma postać:
K= \left[\begin{array}{ccc} k_1+k_{2-3}&-k_{2-3}\\-k_{2-3}&k_{1-2}+k_{2-3}\end{array}\right]

Po podstawieniu za sztywnośći zastępcze przyjmuje ona postać:
K=\left[\begin{array}{ccc} k_1+\frac{k_2\cdot k_3}{k_2+k_3}&-\frac{k_2\cdot k_3}{k_2+k_3}\\-\frac{k_2\cdot k_3}{k_2+k_3}&k_1+k_2+\frac{k_2\cdot k_3}{k_2+k_3}\end{array}\right]

  • 0